Главная
страница 1
ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ
Многочлен от матрицы
Для любой квадратной матрицы определено значение её положительной степени (в силу определения операции умножения матриц и свойства ассоциативности этой операции):

(4.1)

Доопределим так же для нулевой степени гдеединичная матрица.

Теперь любому многочлену m-го порядка можно поставить в соответствие квадратную матрицу и назвать эту матрицу значением многочлена от матрицы , введя обозначение (или просто , если указание на степень многочлена несущественно).

Вычисление многочлена от матрицы возможно непосредственно, используя операции сложения и умножения квадратных матриц. Однако это вычисление значительно упрощается, если известна Жорданова номальная форма матрицы .

Пусть матрица принадлежит множеству вещественных квадратных матриц с вещественными собственными значениями и - её Жорданова форма, при этом S – матрица перехода к базису Жордана (), тогда справедлима

Лемма 4.1. .

Доказательство леммы проведем по индукции.

При k=1 - утверждение леммы справедливо, предположим, что оно справедливо при k=s, т.е. справедливо выражение и покажем его справедливость для k=s+1. Имеем: ,

лемма доказана.

Замечание. .

Пусть - блочно-диагональная матрица, у которой диагональные блоки – Жордановы клетки:



. (4.2)

При возведении в степень блочно-диагональной матрицы её блоки возводятся в степень независимо друг от друга, т.е.:



. (4.3)

Рассмотрим отдельно степени Жордановых клеток.

1) Если , то .

2) Если , здесь целое h – размер Жордановой клетки и, напоминаем, квадратная матрица - матрица, содержащая отличные от нуля элемены равные единице только на первой диагонали, лежащей выше главной, т.е. элементы bij этой матрицы удовлетворяют условию



.

Например, при равных 2,3,4, имеем, соответственно:


При этом матрица - нильпотентная, т.е. для неё существует такое целое r, что , в данном случае r=h. Например, легко проверить, что при , имеем:



И отметим также, очевидную коммутивность произведения. Тогда, если - конкретная Жорданова клетка, соответствующая собственному значению , то



Вид результата возведения матрицы в степень s зависит от соотношения между s и её порядком h (показатель нильпотентности матрицы).

Так, при s<h:

(4.4)

количество слагаемых (s+1) в разложении бинома (4.4) не превышает длину h строки матрицы, все слагаемые бинома заведомо не отрицательные (при) и поэтому все ненулевые элементы заведомо «помещаются» в первой строке.

В случае когда , формально число слагаемых в разложении бинома (4.4) превышает число элементов строки матрицы, однако число ненулевых элементов равно (в силу того, что для целых ) и степень Жордановой клетки будет иметь следующий вид

(4.4a)



Возвращаясь к рассмотрению многочлена от матрицы , с учетом леммы 4.1, имеем

(4.5)

Учитывая представление (4.3) Жордановой формы матрицы через её Жордановы клетки, имеем выражение для многочлена от жордановой формы матрицы :



(4.6)

Рассмотрим вначале значение многочлена от одной Жордановой клетки, соответствующей характеристическому значению и размера , для этого представим многочлен в виде точного разложения по формуле Тейлора в окрестности точки :



(4.7)

Отметим, что при вычислении сомножитель формально заменяется на , таким образом



(4.8)

или, расписывая покопонентно



при этом вид формулы (4.8) явно справедлив для такой степени многочлена, которая удовлетворяет условию , в противном случае, т.е. когда , (в силу нильпотентности матрицы, для целых ) часть членов в выражении (4.8) обращаются в нулевую матрицу, и в этом случае можно записать



(4.8а)

Покомпонентно результат выглядит так



Таким образом, для определения значения многочлена от одной Жордановой клетки размера , и соответствующей характеристическому значению , достаточно знать значение многочлена и всех его производных до порядка включительно в точке .

Это справедливо для каждой Жордановой клетки и для каждого характеристического числа матрицы , поэтому можно сформулировать вывод: элементы матрицы определяются элементами, которые в свою очередь однозначно определяются значениями многочлена и его производных до порядкавключительно в точке , где - характеристическое число из Жордановой клетки размера . Здесь -максимальный размер Жордановой клетки, отвечающей характеристическому числу .

Далее, значения элементов матрицы получаются с использованием формулы (4.5).

Отметим, что из равенстване следует тождественное равенство двух многочленов , а следуют лишь равенства



(4.9)

для всех характеристических чисел матрицы .



Определение 4.1. Два многочлена и называются совпадающими на спектре матрицы , если для них выполняются равенства (4.9).

Многочлен от оператора
Поскольку для линейных операторов заданных на линейном пространстве и являющихся линейным преобразованием () определены операции их сложения, умножения на число и композиция операторов (соответствующая последовательному действию операторов на вектор из и которое можно принять за определение степени оператора), то доопределив - тождественным оператором формально можно построить алгебраическую комбинацию из операторов , действующую на любой по правилу . Такой оператор называется многочленом от линейного оператора и обозначается . Таким образом

Далее, каждой квадратной матрице соответствует линейный оператор , имеющий данную матрицу в некотором базисе пространства . Тогда используемая выше матрица - матрица перехода к новому базису, являющемуся объединением базисов корневых подпространств оператора , и , где - матрицы ограничений оператора на корневых подпространствах.


Функция от матрицы.



Определение 4.2. Пусть задана функция и вещественная матрица, при этом суть все её собственные числа (характеристические значения). Тогда называется определенной на спектре матрицы , если существуют

. (4.10)

Здесь максимальный размер Жордановой клетки, отвечающей . Набор чисел (4.10) значениями функции на спектре матрицы .



Предложение 4.1. Функция определена на матрице линейного оператора тогда и только тогда, когда она определена на матрицах ограничений оператора на его корневых подпространствах и значение может быть найдено по формуле

.

Доказательство этого утверждения основывается на рассуждениях, приведенных в последнем абзаце предыдущего параграфа.


Определение 4.3. Пусть задана функция, определённая на спектре матрицы , и пусть - многочлен, значения которого на спектре матрицы совпадает с соответствующими значениями функции на спектре матрицы , тогда положим .

Таким образом, если определена на спектре матрицы и , то , где и для каждой Жордановой клетки размера , соответствующей конкретному собственному значению имеем:



(4.10)

Таким образом, для вычисления функции от матрицы мы заменяем эту функцию многочленом совпадающим с функцией на спектре матрицы. Существует много многочленов, совпадающих с заданной функцией на спектре матрицы. Среди них выделим так называемый многочлен Лагранжа-Сильвестра.



Определение 4.4. Пусть функцияопределённа на спектре матрицы. Многочлен , степени меньшей, чем степень минимального многочлена матрицы, и совпадающий на спектре матрицыс функцией, называется интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра функции .

Для построения интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра можно воспользоваться решением более общей интерполяционной задачи Эрмита: для заданной функции и s различных точек построить многочлен, который вместе со своими производными заданных порядков принимал бы те же значения в точках , что и функция. Такой многочлен степени, меньшей, чем , называется интерполяционным многочленом Эрмита функции . Решение этой задачи приведено в Приложении 1.


Предложение 4.2. Каковы бы ни были матрицаи числа , найдется единственный многочлен степени меньшей, чем степень k минимального многочлена, который принимает на спектре матрицы значения .

Доказательство. Значение многочлена и его производных произвольного порядка в фиксированной точке - линейная функция его коэффициентов. Поэтому требование, чтобы многочлен принимал на спектре матрицы заданные значения, равносильно системе линейнызх уравнений на его коэффмциенты. Если степень многочлена , то неизвестных в системе . Число уравнений равно числу значений на спектре, т.е. тоже . Поэтому требуется доказать, что детерминант матрицы этой системы линейных уравнений отличен от нуля. Но это следует из того факта, что соответствующая однородная система линейных уравнений имеет только трифиальное решение. Действительно, рассмотрим многочлен, принимающий на спектре матрицы нулевые значения, он будет аннулирующим для матрицы , но степень его меньше степени минимального многочлена, и он должен быть нулевым.


Из предложения 4.2. следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 4.1. (О существовании интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра) Пусть определена на спектре матрицы . Тогда существует и единственен многочлен степени меньше, чем степень минимального многочлена матрицы и совпадающий на спектре матрицы с функцией .

Теорема 4.2. Пусть характеристический многочленматрицыне имеет кратных корней. Тогда интерполяционный многочлен Лаганжа-Сильвестра имеет вид

(4.11)

где - собственные числа матрицы .



Замечание 4.2. В условиях теоремы минимальный многочлен матрицы имеет вид , т.е. матрице соответствует оператор простой структуры.

Замечание 4.3. Если обозначить , то формула для принимает вид , - простые (не кратные) корни характеристического уравнения.

Теорема 4.3. Пусть минимальный многочленматрицы имеет вид , где

- все собственные числа матрицы . Обозначим

.

Если функция определена на спектре матрицы , тогда интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра имеет вид



.
Пример 4.1. Найти , если

Решение. Из характеристического уравнения находим собственные значения матрицы : .

Жорданова нормальная форма матрицы и матрицы перехода к Жорданову базису имеют вид , тогда
Пример 4.2.

Найти , если .


Решение. Из характеристического уравнения находим собственные значения матрицы : . Жорданова нормальная форма матрицы и матрицы перехода к Жорданову базису имеют вид

,

тогда


очевидно, чтоопределена на спектре матрицы , тогда






Смотрите также:
Функции от матриц и операторов
101.98kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену по курсу «Алгебра и геометрия»
19.74kb.
1 стр.
Исследование профессионально важных качеств операторов машиностроительных и транспортно-энергетических производств проведено
169.52kb.
1 стр.
Программа дисциплины "Анализ финансовых данных в среде matlab"
27.03kb.
1 стр.
Главные новости дня 15 апреля 2013
1311.83kb.
6 стр.
SparseAssist для создания программ обработки разреженных матриц
30.47kb.
1 стр.
Проверка соответствия пакетов метаданных службы для сценариев операторов виртуальной мобильной сети
247kb.
1 стр.
Хартия операторов связи России по борьбе с детской порнографией
41.59kb.
1 стр.
Заседание рабочих органов рсс: Комиссии по экономике связи, Комиссии по электросвязи и Совета операторов электросвязи
35.74kb.
1 стр.
Нахождение минимальных/максимальных значений функции
54.83kb.
1 стр.
Формирование национальных идентичностей в контексте глобализации: дифференциация идентификационных матриц 22. 00. 04 «Социальная структура, социальные институты и процессы»
271.77kb.
1 стр.
Общие свойства линейных операторов типа романовского с частными интегралами
143.42kb.
1 стр.