Решение квадратных уравнений

Урок алгебры в 8 классе

Тема: Решение квадратных уравнений.

Цель: закрепить умения и навыки по решению квадратных уравнений различными способами и умения работать с тестами.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический). Тестовая проверка уровня знаний, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка.

Формы организации труда: индивидуальная, фронтальная.

Ход урока.

Организационный момент.

1) Математический диктант.

Да - поднять правую руку, нет – левую руку.

2)История возникновения квадратных уравнений.

А) Индия. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее; Как солнце блеском своим затмевает звезды так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях предлагая и решая алгебраические задачи» Часто они были в стихотворной форме

Слайд 1

б) Европа. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака» написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии Франции и в других странах Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано лишь в 1544 году Штифелем

Слайд №2

В) Древний Вавилон. Необходимость решать уравнения не только первой но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи связанные с нахождением площадей земельных участков и земляными работами военного характера а также с развитием астрономии и самой математики Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до Н.Э. вавилоняне. Но решения были только в виде рецептов, и отсутствовало отрицательное число и общие методы решения квадратных уравнений.

3)Решение неполных уравнений в виде соревнования.

1) 2x²=0 2) -576x²=0 3) 2x²-6=0 4) 9x²-4=0 5) 7x²+54=0 6) 3x²+x=0

7) 5x²-x=0 8) x²+4x=0 9) x²+25=0

Рассказать об этих уравнениях.

4)Найти дискриминант и корни уравнений

А) 3х²+7х-6=0 х= -3 х= 2\3

Б) 3х²+7х+6=0 Д= 49-72<0, нет корней

В) 5х²+10х-3=0 х= -5+ 40\5

5)Метод Виета

А) х²-7х+10=0 х= 5 х= 2

Б) х²+7х-18=0 х= -9 х= 2

В) х²-6х-16=0 х= 8 х= -2

6)Метод суммирования коэффициентов

А) 923х²+77х-1000=0 а+в+с=0 х= 1 х= -1000\923

Б)5х²+41х+36=0 а-в+с=0 х= -1 х= -36\5

7) метод переброски коэффициентов

А) 3х²+7х-6=0

В) 2х²-5х-7=0

*8) Устные способы решения уравнений (корни взаимно обратные числа)

1) 3х² +10х+3=0 х= -3 х= -1\3

2) 3х² -10х+3=0 х= 3 х= 1\3

3) 5х² +26х+5=0 х= -5 х= -1\5

4) 4х²- 17х+4=0 х= 4 х= 1\4

5) 3х² -8х-3=0 х= 3 х= -1\3

6) 7х² +48х-7=0 х= -7 х= 1\7

Выводы.

Таблица.

Способы решения квадратных уравнений

Коэффициенты

Вид уравнения

Запись уравнения

Корни уравнения

Х₁ Х₂

a

b

c

+

0

0

неполное

ax²= 0

x = 0

0

неполное

ax² + bx = 0

x = 0;
x = -

0

неполное

ax² + с = 0

C > 0 нет корней
С < 0, x =

полное

ax² + bx + c = 0

D = b² – 4ac, D > 0,
x =

D = 0 x =

D < 0 нет корней

a + b + c = 0

x = 1
x =

a – b + c = 0

х = - 1
x =

a² + 1

a

aх² + (a² + 1)x + a = 0

x = - a
x = -

-(a² + 1)

a

aх² - (a² + 1)x + a = 0

x = a
x =

a² - 1

a

ax² + (a² - 1)x - a = 0

x = - a
x =

ax² - (a² - 1)x - a = 0

x = a
x = -

1

p

q

x² + px +q = 0

Обрати внимание!

1) Если а < 0, умножь на –1 обе части уравнения;

2) Если с < 0, уравнение всегда имеет корни;

3) Если с > 0, уравнение может не иметь корней;

4) Если b > 0, с > 0, оба корня отрицательны;

5) Если b < 0, с > 0. оба корня положительны;

6) Если с < 0. то корни разного знака;

7) Если b > 0, с < 0, то модуль отрицательного корня больше модуля положительного корня;

8) Если b < 0, с < 0, то модуль положительного корня больше модуля отрицательного корня.

Б) Знаки корней

10) Тестирование:

1 вариант

1) 42х²=0

А)0;1\42 б )21’; 2 в)0 г)-\+ 42

2)437х² -500х+63=0

А)1; 63\437 б) нет корней в)63; 1 г)63: 1\63

3)х² -4х=0

А)2;-2 б)0;4 в)4;1\4 г )2; 0

4)х ²+4=0

А)+\-2 ,б)4:1 в)нет корней г)0;4

5)8х²-65х+8=0

А)1:8 б)-8;-1\8 в)-1;-1\8 г)8:1\8

6)7х² +10х+3=0

А)-1;-3\7 ,б)3; 1 в)1;3\7 г)7;3

7) 2х ²+3х-2=0

А)2; 1 б)-2;-1 в)-2; 1\2 г)2:-1\2

2вариант

1)125х² =0

А)1\25 б)0 в)+\-125 г)5;25

2)х² +9=0

А)3;-3 б,)3;1\3 в)нет корней г)-3;-1\3

3)3х²-5х+2=0

А)2;1\2 ,б,)1;2\3 в)-1;2\3 г)-1;-2\3

4)х ²-5х+6=0

а)2; 3 ,б)5:1 в)-2;-3 г)6;-1\6

5)3х²-12=0

А)-2;0 б)0;2 в)+\-2 г)2;1\2

6)121х² -135х+14=0

а)14;1 б)2;7 в)0;14 г)1;14\121

7)2х² -5х+2=0

а)2;1\2 б)2;1 в)-2;-1 г)2;-1\2

Ответы :

Вариант 1 вариант 2

1)в 1)б

2)а 2)в

3)б 3)б

4)в 4)а

5)г 5)в

6)а 6)г

7)в 7)а

Домашнее задание: №660 642