Главная
страница 1
УДК 515.5
© Изворска Д.Ил., Старц Здравко Ф.
ОБ ИЗУЧЕНИИ ПОНЯТИЙ "ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НУЛИ ФУНКЦИИ"
Одно из фундаментальных понятий в математике это понятие функции. Многие процессы и явления, которые мы знаем, описываются с помощью функции. Так как сущность понятия функции описано во многих работах [1], остановимся кратко на некоторых других понятиях, связанных с функциею, что и будет обьектом настоящей работы.
Определение 1. Если каждой переменной х данного множества D сопоставлено число множества М, говорят, что задана функция y = f(x) или f: x → y.

Переменная х є D называется независимой переменной или аргументом функции f, а переменная y =f(x) - зависимой переменной.


Определение 2. Множество D, которой принадлежит независимая переменная х называется обласью существования (определения) функции.

Если множество D - числовое множество, то область определения числовых функции – некоторый интервал.


Определение 3. Значения переменной х, для которых значения функции y= f(x) равны нулю, называется нулями (корнями) функции.

Функция тождествено равна нулю, если ее значение равно нулю для каждого значения переменной х. Надо отметить, что при исследовании мы учитывали программу изучения математики в средних школах в Болгарии и Сербии, которая включает следующие основные элементарные функции:


1. y = ax + b (a ≠ 0) D = R

2. y = ax2 + bx + c ( a≠0 ) D = R

3. y = D={x ; x≠0}

4. y = D={x ; x≥0}

5. y = ax (a>0) D = R

6. y = logx D={x: x>0}

7. y = sinx D = R

8. y = cosx D = R


Рассмотрим две основные группы задач:
Первая группа. Надо найти область определения функции.

В неë включается несколько типов задач, в зависимости от вида функции.



I тип.

  1. y = - 3x2 + 4x – 5

  2. y = 7 cos x

  3. y = -3 log x

  4. y = 2x

  5. y = -

  6. y = 4

  7. y = 5 log (x)


II тип.

Пустъ у = g(x) и y = h(x), область определения функции g(x):D(g) и область определения h(x):D(h). Тогда для функции y = g(x) + h(x), y = g(x) – h(x), y = g(x) h(x) oбласть определения D = D(g) ∩ D(h).


Пример: Найти область определения функции.

y = 3– 4 sinx

В этом примере g(x)=3, h(x)=4sin(x) и D(g)={x: x≥0}, D(h)=R. Область определения функции y(x) – D = D(g) ∩ D(h) = {x: x≥0}.
Задачи: Найти область определения функции:


  1. y = 6 (4x-7) log x

  2. y = 3x + 8 cos x

  3. y = 3 log x

  4. y =– 9 sin x

  5. y = (5x2 - 6)


III тип.

Функция y = oпределена в области D, где g(x) ≥0.



Пример: Функция y=определена в области, где 2х – 1 ≥0, т.е D={x: х≥}

Oбласть определения D функции y = log g(x) описывается неравенством g(x) ≥0.



Пример: Областъ задания функции y=log(3x- 4) oпределяется неравенством:

3х – 4≥ 0 т.е D = {x: x>}.

Задачи: Найти область определения функции:


  1. y =

  2. y = log(5x - 10)

  3. y =

  4. y = log(7 – 3x)


IV тип

Если y = областъ определения функции

D = D(g) ∩ D(h) /S, где S = {x: h(x) = 0}.
Пример : Область задания y =, определяется неравенством 2х – 4 ≠0 или х ≠2 т.е. D = R\ {2} = {x: x≠2}.

Для y =:D(g) = {x: x≥ 0}, D(h) = R,

S = {} и D(g) ∩ D(h) {x: x≥ 0},

D = D(g) ∩ D(h) /S ={x: x≥ 0} ∩ {} = {x: x≥ 0, x≠ }

Задачи: Найти область определения функции:


  1. y =

  2. y =

  3. y =

  4. y =

  5. y =


Вторая группа Надо найти нули функции.

В этой группе снова разсмотрены несколько типов задач в зависимость от вида функции.


V тип.

Напомним что число а є D - области задания функции y =f(x), для которого f(a) = 0 называется нулем функции.

Например число 3 ноль функции y = 2x – 6, а число 1 - ноль функции y = log x.

Некоторые функции имеют действительные нули, а другие функции не имеют действительных нулей. Например функция y = x2 – 5x + 6 имеет два нуля 2,3; функция y = sin x имеет бесконечное множество нулей kπ (k=0,1,2,3…); функции y = x2 + 1 и y=3x не имеют нулей.

Определение нулей некоторой функции y = f(x) сводится к решению уравнения f(x)=0.

Пример: Найти нули функции:

y = x3 -4x2 +3x

Решаем уравнение:

x3 -4x2 +3x = 0 или (x2-4x+3)x=0

Отсюда следует x2-4x+3 =0 или x = 0, так что x1 = 1 , x2 =3 , x3 = 0. Эти числа являются нулями данной функции.
Задачи:


  1. Имеет ли действительный нуль функции y = x2 + 3 ?

  2. Имеются ли нули у функции y = 4 cos x ?

Найти нули функций:



  1. y = x3 – 5x2 + 6x

  2. y = 2x3 – x2

  3. y = - x3 + 3x2 – 2x


VI тип

Нуль функции y = находим, решая уравнение g(x) = 0.



Пример : Нуль y = находим, решая уравнение 4- x2 = 0. Нули х1 = 2 и х2 = -2.
Найти нули следющих функции:

  1. y =

  2. y =

  3. y =

  4. y = log(5x - 7)

  5. y = log(2x - 17)

  6. y = log(x2 - 6x +9)


VII тип.

Число а – нуль функции y = если g(a) = 0 и h(a) ≠ 0.



Пример: Нуль функции y = находим решая 4х - 8 = 0, т.е х = 2.

Вычисляем h(2) =3·2 – 7 = -1 следовательно, х = 2 нуль функции.

Для y = имеем -4log x = 0 т.е x = 1. Число x = 1, это не нуль функции потому что h(1) = 3·1-3 =0
Задачи:

Найти нули функции:



  1. y =

  2. y =

  3. y =

  4. y =

Следующий тип задач – задачи для закрепления и повторения знаний.


VIII тип

Найти область определения функций:

37.y = 4x – 8log x

38.y = +

39.y = - 8sinx . log x

40.y =

41.y = log(9 – 3x)

42.y =


Найти нули функций:

43.y = log(8x + 3)

44. y =

45. y =


Включены разные типы задач. Задачи в каждой из двух групп дают возможность дифференцированного обучения при помощи сочетания индивидуальный и групповой работы с учениками. Поэтому к каждому типу задач дан пример решенной задачи, а после этого предлагаются аналогические задачи с аналогичными решениями для самостоятельной работы.Последние два типпа задач предназначенны для школьников с хорошими математическими спосбностями. Их надо решать индивидуально от этих учеников или в кружках.

IX тип.
Пример:

Найти область определения функции y =. log(x +1). В этом примере g(x) = ·h(x) = log(x + 1). Функция g(x) определена для х - 2≥ 0 , х ≥ 2 и D(g) ={x: x≥2}. Функция h(x) определена для х + 1≥ 0, х > - 1:D(h) = {x: x > -1}.

Значит D = D(g) ∩ D(h) = {x: x≥2}.

Пример: Для функции y = + log(x-5) D = D(g) ∩ D(h) = следовательно областью определения функции яавляется пустое числовое множество.

Задачи:


  1. y = 21. y = 2

  2. y = 22. y = 2

  3. y = 23. y = 3

  4. y = 24. y = log(x2-5)

  5. y = 25. y = lg(2x2-x-1)

  6. y = 26. y = log

  7. y = 27. y = log

  8. y = 28. y = log(2-)

  9. y = 29. y = log

  10. y = 30. y = log(-)

  11. y = + 31. y = log(2x-2)

  12. y = -+

  13. y = - 32. y = log(2x+1-4)

  14. y = + 33. y = log(2x-3.2+2)

  15. y = 34. y =

  16. y = 35. y =

  17. y = 2x – 1 36. y =

  18. y = 2x-1 37. y = sin[(1-2x) π]

  19. y = ()x – 1 38. y = sin(x- )

  20. y = 3 39. y = cos()

  1. y = cos(πx2 )


X тип.

Пример: Определите нули функции:

y = (x2 – 5x + 6)/ (x2 – 6x + 8).

Из х2 -5х +6 = 0 имеем корни х1 = 2 и х2 = 3 . Еще нельзя сказать, что это нули функции. Поэтому найдем область определения функции. Она равна S={2,4}. Следовательно, число 2 не нуль функции, а число 3 - нуль функции.
Задачи: Найти нули функции:
1. y =

2. y =

3. y = -

4. y =

5. y =

6. y = log

7. y =

8. y =

9. y = log(log x)

10 . y =

Опыт показал, что решение задач представляет для начинающих значительные трудности. Мы надеемся, что эта работа окажется полезной не только для учеников, но и для начинающих преподавателей. Работа содержит довольно много нетревиальных задач (IX и X тип), решение которых требует выдумки.

Преподаватель найдет в работе и задачи для контрольных работ.

Надеемся, что данная работа послужит как допольнение к учебным пособиям и поможет учителю осуществить дифференциацию и индивидуализацию обучения.

Литература

1. Илин В.А., Садовничи В.А, Сендов Б.Х., Математически анализ, част първа, “Наука и изкуство”, София, 1984.

2. Vidic V.B, Matematika za IV razred pozivnousmernog obrazovanja poljoprivredne, prehrambene i sumarski struke. Novi Sad – Pancevo, 1985.

3. Ivovic M., Milosevic V., Matematika za IVrazred usmerenog obrazovanja poljoprivredne, prehrambene, sumarske i veterinarske struke, Beograd, 980.

4. Xристова М., Атанасова М., Сборник от задачи на математика за 11 клас на СОУ и 3 курс на СПТУ и техниките, част 1, Булвест – 2000,София, 1994.
Изворска Д.Ил.,Старц З.Ф.

Об изучении понятий "Области определения функции и нули функции"

Эта работа полезна не только для учеников, но и для начинающих преподавателей. Работа содержит довольно много нетревиальных задач (IX и X тип), решение которых потребует выдумки. Преподаватель найдет в работе и задачи для контрольных работ. Надеемся, что эта работа послужит как допольнение к учебным пособиям и поможет учителю осуществит дифференциациюи индивидуализацию обучения.


Ізворська Д.Іл., Старц З.Ф.

Про вивчення понять “Галузі вивчення функції та нулі функції”


Ця робота корисна не тільки для учнів, але і для починаючих викладачів. Робота містить доволі багато нетривіальних задач (ІХ і Х тип), вирішення яких потребує видумки. Викладач знайде в роботі також задачі для контрольних робіт. Сподіваємось, що ця робота послужить як доповнення до навчальних посібників та допоможе вчителю здійснити диференціацію та індивідуалізацію навчання.
D.Il Izvorska., Z.F. Starc

On Learning the Topic "Domain of Function and Zeros of Function"



The present paper cаn be useful not only for paper pupils, but also for beginner teachers. It contains quite a number of non-trivial mathematical problems (type IX and X), solution of which requires non-standard thinking. Teachers can also find problems appropriate for tests in it. We hope that the paper can be used as a supplement to the text-books and it will help teachers to apply the approaches of differentiation and individualization in the process of teaching mathematics.


Смотрите также:
Об изучении понятий "области определения и нули функции"
87.58kb.
1 стр.
Область определения и область значения функции
92.52kb.
1 стр.
Нахождение минимальных/максимальных значений функции
54.83kb.
1 стр.
Система технического обслуживания и ремонта техники термины и определения
256.81kb.
1 стр.
Дисковод cd-rom
115.04kb.
1 стр.
Photogrammetric instruments. Terms and definitions Группа поо
115.83kb.
1 стр.
Принцип работы дисковода cd-rom
154.33kb.
1 стр.
А и вт при изучении курса следует усвоить: I. Формулировки следующих понятий: Химия в системе общество и природа
49.5kb.
1 стр.
Лекция №2. Назначение и функции операционной системы Операционные системы для автономного компьютера
192.56kb.
1 стр.
Лабораторная работа №1 Исследование разомкнутой линейной системы Барнаул 2008 краткие теоретические сведения
322.48kb.
1 стр.
«Великая Отечественная война 1941-1945 гг.» Работа над понятиями Запишите определения следующих понятий
121.98kb.
1 стр.
Интегрированный урок по истории и информатике в 6 а классе по теме
159.65kb.
1 стр.