Главная
страница 1

LU-разложение матрицы


Предположим, что нам удалось привести данную матрицу A к виду

A=LU , (1)

где L – матрица вида , U – матрица вида .

Подставляя полученное разложение в исходную систему Ax=b, получим:

LUx=b. (2)

Пусть


Ux=y, (3)

тогда, подставляя (3) в (2), получаем:



Ly=b. (4)

Таким образом, решение данной системы сводится к трем этапам /2/:



  1. нахождение элементов матриц L и U из матрицы A;

  2. решение системы (4) с матрицей L;

  3. решение системы (3) с матрицей U.

Учитывая равенство (1) и умножая последовательно столбцы матрицы L на строки матрицы U получаем систему из 9 уравнений и 9 неизвестных (элементы матриц L и U):

a11=l11;

a21=l21;a22=l22+l21*u12;a12=l11*u12;



a13=l11*u13;a23=l21*u13+l22*u23.

Находим элементы матриц L и U:

Решим систему (4). Ее решение сводится к решению следующей системы уравнений:

b1=l11*y1

b2=l21*y1+ l22*y2

b3=l31*y1+ l32*y2+ l33*y3

Вектор y будет выглядеть следующим образом:y=

Следующий этап – решение системы Ux=y. Решение сводится к решению следующей системы:

x1+u12*x2+u13*x3=y1

x2+u23*x3=y2

x3=y3

Находим вектор решения данной системы.x=

Чтобы найти определитель матрицы A, перемножим числа, стоящие на главной диагонали матрицы L.

detA=a11*a22*a33

Получение обратной матрицы


Имеем матрицу A=LU,

где L – матрица вида , U – матрица вида .

Решим систему LU=E, где E – единичная матрица.

Представим единичную матрицу как набор вектор-столбцов:



e1=, e2=, e3=.

Решим последовательно системы Ly=e1, Ly=e2, Ly=e3 на основе формул, полученных в п. 2.2.

Теперь решаем последовательно системы Ux=y1, Ux=y2, Ux=y3 .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1970.

  2. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). — М.: Высшая школа, 2000.



  1. ПРИМЕР РАБОТЫ ПРОГРАММЫ




Рис. 1. Результат работы программы. Вычисление корней

  1. ВЫВОДЫ


Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений позволяет с заданной точностью отыскать решение системы. К его преимуществам можно отнести простоту реализации на ЭВМ.

Метод LU-разложения при решении системы линейных алгебраических уравнений дает очевидные преимущества по сравнению с методом Гаусса. Во-первых, для решения систем с одинаковыми элементами A и разными элементами b, по методу Гаусса придется составлять схему с единственным делением столько раз, сколько подобных систем требуется решить. По методу LU-разложения достаточно лишь один раз разложить исходную матрицу A, а затем выполнять пересчет значений корней на основе свободного члена b. Во-вторых, при использовании метода Гаусса, в памяти приходится хранить и обрабатывать большее количество данных, нежели при использовании метода LU-разложения.








Смотрите также:
Lu-разложение матрицы
25.9kb.
1 стр.
Приведение матрицы к диагональному виду. Каноническое разложение матрицы
38.46kb.
1 стр.
Мультипликативный метод главных компонент (ммгк) и его применение к сжатию изображений
37.47kb.
1 стр.
Разложение Холецкого
10.78kb.
1 стр.
Матрицы и определители Числовые матрицы и действия над ними
184.57kb.
1 стр.
Решение производим в matlab. Зададим матрицу S=[l 3 1 0]. Функция expm(S) возвращает значение экспоненты от матрицы: a = expm(S). Таким образом
21.38kb.
1 стр.
План ответа
12.28kb.
1 стр.
Борьба с монголо-татарским нашествием
77.72kb.
1 стр.
Ангелайт Матрицы Жизни. Как достичь желаемого с помощью Матриц Жизни
2527.52kb.
8 стр.
Литература Дом зад Тема №1 Россия в первой четверти 19 века. ( 8 часов) 1
115.43kb.
1 стр.
Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков Cпециальность 08. 00. 13 «Математические и инструментальные методы экономики»
365.89kb.
3 стр.
Оптимизация распределения работ и загруженности службы управления персоналом на основе матрицы разу
1843.06kb.
13 стр.