Практическая работа № 1

Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений».

Задание: Решить СЛАУ с помощью встроенной функции lsolve(M,V) и с помощью блока GIVEN…Find(x1,x2,x3). Результаты сравнить. Для проверки правильности вычислений предусмотреть вычисление невязок.

Билет №19

Практическая работа № 2
Построение графиков в MathCAD

1. Построить график параметрически заданной функции при значениях конcтант а, b, . Оси графика – х и y, которые зависят от аргумента t или .

2. Сравнить график с построенным графиком в электронной таблице Excel

19

Название кривой	Вид графика	Параметрические уравнения	Диапазон аргумента	Значения констант
Спираль		x = atcos t y = btsin t	t  0  10 Шаг 0.5	a =  2 b = 2

Работа с матрицами в MathCAD

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами.

Предварительно матрицу нужно определить и ввести в рабочий документ MathCAD.

Для того чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания (+<:>). Затем откройте панель операций с матрицами и нажмите кнопку «Создать матрицу или вектор» или выберите в меню Вставка (Insert) команду Матрицу (Matix). В окне диалога введите число строк и столбцов и заполните значениями поле ввода матрицы.

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в MathCAD, можно выполнять тремя способами – с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

За кнопками на панели инструментов Матрицы закреплены следующие функции:

• 
  определение размеров матрицы
  
• 
  X_n – ввод нижнего индекса
  
• 
  X^-1 – вычисление обратной матрицы
  
• 
  |X| - вычисление определителя матрицы: ;
  
• 
  вычисление длины вектора
  
• 
  поэлементные операции с матрицами: если , то
  
• 
  M^<> – определение столбца матрицы: M^<j> - j-й столбец матрицы
  
• 
  M^T – транспонирование матрицы:
  
• 
  - вычисление скалярного произведения векторов:
  
• 
  - вычисление векторного произведения двух векторов:
  
• 
  - вычисление суммы компонент вектора: ;
  
• 
  - определение диапазона изменения переменной
  
• 
  визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.
  

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, собраны в разделе Векторы и матрицы (Vector and Matrix); их можно разделить на три группы: функции определения матриц и операции с блоками матриц, функции вычисления различных числовых характеристик матриц и функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

• 
  matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой, расположенный в i-ой строке, j-ом столбце, равен значению f(i,j) функции f(x,y);
  
• 
  diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали хранятся в векторе v;
  
• 
  identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;
  
• 
  augment(A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число строк);
  
• 
  stack(A, B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число столбцов);
  
• 
  submatrix(A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы A, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc (ir<=jr, ic<=jc).
  

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в MathCAD в переменной ORIGIN. По умолчанию в MathCAD координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще всего используется нумерация с 1, перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем, прежде всего, выполнять команду ORIGIN:=1.

Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:

• 
  last(v) – вычисление номера последней компоненты вектора V;
  
• 
  length(v) – вычисление количества компонент вектора V;
  
• 
  rows(A) – вычисление числа строк в матрице A;
  
• 
  cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице A;
  
• 
  max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице A;
  
• 
  min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице A;
  
• 
  tr(A) – вычисление следа квадратной матрицы A (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);
  
• 
  rank(A) – вычисление ранга матрицы A;
  
• 
  norm1(A), norm2(a), norme(A), normi(A) – вычисление норм квадратной матрицы A.
  

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

• 
  rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со стоками матрицы);
  
• 
  eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратной матрицы A;
  
• 
  eigenvecs(A) – вычисление собственных векторов квадратной матрицы A; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы A, причем порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);
  
• 
  eigenvec(A, l) – вычисление собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению l;
  
• 
  lsolve(A, b) – решение системы линейных алгебраических уравнений Ax=b.
  

Вычисления с использованием описанных функций выполняются стандартным для MathCAD способом. Чтобы обратиться к функции, введите с клавиатуры имя функции, перечислите в скобках ее аргументы, введите знак равенства и щелкните по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки. Результат вычислений (число, вектор, матрица) будет отображен в рабочем документе справа от знака равенства.

Если предполагается использовать результаты в дальнейших вычислениях, им следует присвоить имя. Для этого введите с клавиатуры имя переменной и знак присваивания, а справа от него – имя функции со списком аргументов в круглых скобках. Если теперь ввести с клавиатуры имя переменной, знак равенства и щелкнуть по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки, то результат вычислений будет отображен справа от знака равенства.

Имя функции можно вставить из списка: щелкните по месту вставки, затем по строке Функция (Function) меню Вставка (Insert), выберите в окне списка стрелками прокрутки нужную функцию и подтвердите выбор щелчком по кнопке OK в окне диалога.

Вычисления могут производиться в двух режимах – автоматическом и последовательном. В первом случае операция выполняется сразу после ввода команды и щелчка по рабочему документу вне выделяющей рамки, во втором – после команды Вычислить (Calculate). Режим вычислений устанавливается в меню Математика (Math). По умолчанию включен режим автоматических вычислений.

MathCAD читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому следите, чтобы выражение для вычисления располагалось правее и ниже определенных для него значений переменных.

Задание

1. 
   Создать матрицу А заданной размерности n*m (матрицу заполнить самостоятельно).
   
2. 
   Транспонировать матрицу А.
   
3. 
   Вычленить из матрицы А i-ый и j-ый столбцы и найти их сумму и скалярное произведение.
   
4. 
   Применить к каждому элементу матрицы А функцию z(x).
   

Указания

1. 
   В начале работы переменной ORIGIN присвоить значение 1. Для выполнения операций над матрицей пользоваться панелью инструментов Матрицы, для вставки функций пользоваться меню Вставка – Функция или соответствующей кнопкой панели инструментов Стандартная.
   
2. 
   Для выполнения 4 задания необходимо:
   

• 
  Записать функцию z(x) в общем виде.
  
• 
  Переменным i и j присвоить диапазоны значений: .
  
• 
  Вычислить элементы новой матрицы Z как значения функции z(x), где в качестве переменной x подставляется элемент матрицы A: .
  
• 
  Просмотреть полученную матрицу Z (набрать с клавиатуры Z=).
  

3. 
   Для записи функции, заданной с условиями необходимо:
   
   • 
     Записать диапазон изменения аргументов x и y: (значения n и m должны быть описаны выше).
     
   • 
     Записать «f(x,y):=», затем на панели инструментов «Программирование» нажать кнопку «Add line». В поле ввода функции появится вертикальная черта с метками для ввода.
     
   • 
     В верхней метке набрать первое значение функции, а затем нажать кнопку «if», появится служебное слово if и метка для ввода условия. Для применения логической операции «И» для нескольких логических выражений ставится знак «*», а для операции «ИЛИ» – знак «+».
     
   • 
     В нижней метке набрать второе значение функции и нажать кнопку «otherwise» (иначе). Щелкнуть за пределами поля ввода функции для завершения записи.
     
4. 
   Для исследования однородной системы уравнений необходимо вычислить определитель матрицы коэффициентов. Если определитель не равен 0, то система нетривиально совместна и имеет более одного решения (в том числе нулевые). Справедливо также утверждение: для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных n. Таким образом, если |C|≠0 и rank(C)≤n, то система тривиально совместна и имеет только одно нулевое решение.
   

Для вставки текстовых комментариев выберите в меню Вставка пункт Текстовая область или нажмите сочетание

Вариант 19

Размерность матрицы А 7*4.

i=6; j=3;

;

Решение уравнений средствами MathCad

Функции для решения уравнений

Имя функции	Описание	Пример
x0=root(f(х1,x2,…),х1,a,b)	Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a,b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. f(х1,x2,…) – функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. х1 – имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. MATHCAD использует его как начальное приближение при поиске корня. a, b – необязательные аргументы, диапазон поиска (уточнения) корня, причем a	f(x):=sin(x)-1+x – описываем функцию x:=1 – начальное приближение x0=root(f(х),х) x0=0.511 – решение уравнения
Given f(x)=0 x0=find(x)	Находит решения уравнений и неравенств, указанных в предшествующем блоке решения. Решает системы уравнений.	x:=1 – начальное приближение Given – открывает блок решения sin(x)-1+x=0 – уравнение x0=find(x) – Конец блока решения x0=0.511 – решение уравнения
Given f(x)=0 x0=minerr(x)	Находит решения уравнений и неравенств, указанных в предшествующем блоке решения. Если решение найти не удается, минимизируется общая погрешность. Эту функцию удобно использовать для минимизации погрешности в методе наименьших квадратов.	x:=1 – начальное приближение Given – открывает блок решения sin(x)-1+x=0 – уравнение x0=minerr(x) – Конец блока решения x0=0.511 – решение уравнения
X:=polyroots(V)	Нахождение корней уравнения для полиномиального вида функции. V – вектор, составленный из коэффициентов полинома. Поскольку полином степени N имеет ровно N корней, вектор V должен состоять из N+1 элемента. Результатом действия функции polyroots является вектор, составленный из N корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root. Вектор V удобно создавать использую команду Символы / Коэффициенты полинома.	f(x)=8x2-10x+3 – описание вектора коэффициентов X:=polyroots(V) – решения уравнения

Варианты заданий

19