Главная
страница 1
ПРОГРАММА-МИНИМУМ

кандидатского экзамена по специальности



01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

по физико-математическим наукам



Введение

В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова РАН и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

1. Математическая логика и теория алгоритмов

Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Тезис Чёрча.

Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.

Построение полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства.

Классы P и NP. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи ВЫПОЛНИМОСТЬ.

Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы.

Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость.

Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме.

Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции.

*Полнота исчисления предикатов. Теорема Мальцева о компактности.

*Элементарные теории классов алгебраических систем. Категоричные в данной мощности теории. Теорема о полноте теории, не имеющей конечных моделей и категоричной в бесконечной мощности.

Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка.

Формальная артифметика. Теорема о представимости вычислимых функций в формальной артифметике (без доказательства).

*Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики. Теорема Тарского о невыразимости арифметической истинности в арифметике.

*Неразрешимость алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов.

*Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора.



2. Алгебра

Теоремы Силова.

Простота группы An , n ? 5 и SO3.

Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов.

Свободные группы и определяющие соотношения.

Алгебраические расширения полей. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.

Конечные поля, их подполя и автоморфизмы.

Радикал кольца. Структурная теорема о полупростых кольцах с условием минимальности.

Группа Брауэра. Теорема Фробениуса.

Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе.

Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Теорема Биркгофа-Витта.

*Основы теории представлений. Теорема Машке. Одномерные представления. Соотношения ортогональности.

*Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа.

*Решетки. Дедекиндовы решетки. Теорема Стоуна о булевых алгебрах.



3. Теория чисел

Квадратичный закон взаимности.

Первообразные корни и индексы.

Неравенства Чебышева для функции ?(x).

Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел.

Характеры и L-функции. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Тригонометрические суммы. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений.

*Критерий Вейля равномерного распределения. Теорема Вейля о последовательности значений многочлена.

Модулярная группа и модулярные функции. Теорема о строении алгебры модулярных форм.

Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами.

Приближение вещественных чисел рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел.

Трансцендентность чисел е и ?.



Основная литература

Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.

Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. 2-е изд. М.: Наука, 1987.

Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М.: Наука, 1984.

Новиков П.С. Элементы математической логики. 2-е изд. М.: Наука, 1973.

Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980.

Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры алгебры. М.: Физматлит, 2000.

Винберг Э.Б. М. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2001.

Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.

Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. М.: Изд-во МГУ, 1995.

Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.

Коробков Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.



Серр Ж.П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.


Смотрите также:
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» по физико-математическим наукам
37.04kb.
1 стр.
Рабочая программа дисциплины «Физико-химическая механика материалов»
91.77kb.
1 стр.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 10. 02. 19 «Теория языка» Составители : д-р филол наук, проф
233.7kb.
1 стр.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности
169.98kb.
1 стр.
Мачнев Виктор Яковлевич, профессор, кандидат исторических наук; Левитская Ирина Виленовна, доцент, кандидат философских наук рабочая программа
462.58kb.
2 стр.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 08. 00. 05 «Экономика и управление народным хозяйством» (экономика труда) по экономическим наукам
498.37kb.
3 стр.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 05. 16. 05 «Обработка металлов давлением» по техническим наукам
159.23kb.
1 стр.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 08. 00. 05 – «Экономика и управление народным хозяйством»
364.74kb.
1 стр.
Программа кандидатского экзамена по специальности 12. 00. 01 «Теория и история права и государства; история правовых учений» по юридическим наукам
771.15kb.
16 стр.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 02. 04 «Механика деформируемого твердого тела» по техническим наукам
130.4kb.
1 стр.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 12. 00. 01
885.97kb.
5 стр.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности
142.5kb.
1 стр.