1 этап. Алгебраический способ решения задач
Текстовые задачи на смеси и сплавы при всей их кажущейся простоте часто вызывают проблемы у учащихся. В этой работе мы подробно опишем методику их решения и на примерах реальных экзаменационных задач покажем, как ее применять.

При решении текстовых задач на смеси постоянно приходится работать со следующими понятиями:

абсолютное содержание вещества в смеси;

относительное содержание вещества в смеси.

Абсолютное содержание вещества в смеси — это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения (грамм, литр и т.д.).

Относительное содержание вещества в смеси — это отношение абсолютного содержания к общей массе (объему) смеси:

относительное содержание =

абсолютное содержание

общая масса

Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным содержанием. При этом используются различные формы записи относительного содержания вещества: в долях и в процентах. Например,

относительное содержание

Чтобы проиллюстрировать эти понятия, предпо­ложим, что в сосуд, содержащий 450 г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получив­шегося раствора 500 г.

В растворе абсолютное содержание соли 50 г, а относительное —

Аналогично, в растворе абсолютное содержание воды 450 г, а относительное –

Проведенные выше простые выкладки удобно проиллюстрировать следующей условной картинкой (подобные картинки следует рисовать в процессе решения задач на смеси):

Общая масса 500 г

А
Соль 50 г

бсолютное содержание соли - 50 г.

Относительное содержание соли –

Вода 450 г

Абсолютное содержание воды - 450 г.

Относительное содержание воды –

Решение любой задачи на смеси обычно сводится к расчету абсолютного и относительного содержания компонент всех смесей, фигурирующих в условии задачи. Хотя часто эта информация избыточна, лучше не ломать голову над тем, что может понадобиться в процессе решения, а что нет.

Задача 1. Имеются два сплава золота и серебра, в одном массы этих металлов находятся в отношении 2 : 3, в другом — в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг спла­ва, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Решение.

Вариант 1. В новом сплаве должно быть

(кг) золота и = 5,5 (кг) серебра. Пусть от первого сплава взяли х (кг) золота, а из второго - (8 - х) (кг). Тогда

;

Проверим правильность решения «через серебро».

;

Вариант 2. В новом сплаве массы золота и серебра должны относиться как 5:11. Определим эти массы. Если из первого сплава взяли x (кг), а из второго (8 - х) (кг), то масса золота, взятая из двух сплавов, равна

масса серебра равна

,



Ответ. 1 кг, 7 кг.

Задача 2. Имеются два сплава меди и цинка, входящих в отношении 1 : 2 (первый сплав) и 2 : 3 (второй сплав). Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий медь и цинк в отношении 17 : 27?

Решение.

Пусть от первого сплава взяли х частей, а от второго — у частей.

содержание меди в новом сплаве (в частях);

содержание цинка в новом сплаве (в частях).

По условию

Ответ. 9 частей, 35 частей.
Задача. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-и кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение.

Пусть х г — масса 50% -й кислоты,

у г — масса 70%-й кислоты,

0,5х г — масса чистой кислоты в первом растворе,

0,7у г — масса чистой кислоты во втором растворе,

(х + у) г — масса смеси,

0,6(х + у) г — масса чистой кислоты в смеси.

Имеем уравнение:

| : у ≠ 0







Ответ: 1:3.

Задача. Имеется сталь двух сортов, один из которых содержит 5%, а другой 10% никеля. Сколько тонн каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить сплав, содержащий 8% никеля, если в куске никеля второго сорта на 4 т больше, чем в куске первого сорта?

Решение:

Пусть

х т — масса стали I сорта,

у т — масса стали II сорта,

0,05х т — масса никеля в куске I сорта,

0,1у т — масса никеля в куске II сорта,

0,08(x + у) т — масса никеля в сплаве.

Известно, что в куске никеля II сорта на 4 т больше, чем в куске I сорта, в сплаве содержится сталь только этих сортов, поэтому составим систему уравнений:




Ответ: 40 т стали I сорта, 60 т стали II сорта.

Задачи для самостоятельного решения.
1. Один сплав содержит медь и олово в отношении 2 : 1, а другой — в отношении 3 : 2. По скольку частей нужно взять каждого из этих сплавов, чтобы получить третий сплав, в котором медь и олово содержатся в отношении 27 : 17?

2. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке — 10%, во втором — 40%. После сплавливания этих двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного слитка.

3. В сосуде находилось 9 кг раствора соли в воде. Из сосуда отлили часть раствора и добавили количество воды, равное по весу отлитой части раствора. Затем опять вылили столько же по весу раствора, сколько в первый раз. После этого количество соли в сосуде уменьшилось в раза по сравнению с исходным количеством. Определить первоначальное количество соли в сосуде, если известно, что вес добавленной воды вдвое меньше первоначального веса соли в растворе.

4. Чашка до краев наполнена черным кофе в количестве 100 мл, а в кувшин налито 300 мл молока. Какое количество кофе надо перелить из чашки в кувшин и, перемешав, снова наполнить ее до краев полученной смесью, чтобы молока и кофе в чашке оказалось поровну?

5. Имеется 40 л 0,5%-го раствора и 50 л 2%-го раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять первого и сколько второго раствора, чтобы получить 30 литров 1,5%-го раствора уксусной кислоты?