Главная
страница 1

  1. Определение типа уравнения.

  2. Приведение к каноническому виду

  3. Пример уравнений по типам и физический смысл

  4. Методы решения уравнений по типам

  5. Волновое уравнение, общее решение

  6. Уравнение Гельмгольца, общее решение

  7. Метод характеристик

  8. Почему метод характеристик так называется

  9. Ортогональность собственных функций краевой задачи

  10. Основная проблема метода Римана

  11. Уравнение Лаплас, общее решение. Уравнение Пуассона

  12. Решение уравнения Гельмгольца для различных колебаний мембраны

  13. Решение задачи методом Фурье. Разложение в ряд Фурье – Бесселя

  14. Линейные и нелинейные интегральные уравнения

  15. Виды интегральных уравнений

  16. Особенность решения уравнения теплопроводности

  17. Переход от волнового уравнения к уравнению Гельмгольца

  18. Формулировка краевой задачи

  19. Задачи на собственные значения функции

  20. Разложение произвольной функции в ряды при решении краевой задачи

  21. Цилиндрические функции

  22. Определитель Вронского

  23. Формулировка задачи Дирихле

  24. Формулировка задачи Неймана

  25. Сколько решений у уравнения Бесселя

  26. Уравнение ортогональных ………………………………………………

  27. Отличие задачи Дирихле от Неймана

  28. Является функция Бесселя решение краевой задачи

  29. Когда существует резольвента

  30. Метод последовательных приближений.

  31. Метод разделения переменных

  32. Знать когда решение записывается в виде суммы, а когда в виде отдельных функций

  33. Условие независимость решений

  34. Теория Фредгольма

  35. Резольвента

  36. Ортогональность функций Бесселя




  1. Определение типа уравнения.




  1. Приведение к каноническому виду


Составив характеристическое уравнение его общие интегралы равны



Считается что уравнение:

а) гиперболического типа

Если

б) параболического типа

Если

в) эллиптического типа

Если

Решив дифур получим, что константа равна функции от х,у. После производим замену переменных

Дальше уравнение приводится к каноническому согласно его типу

а)



б)


в)





Где











  1. Пример уравнений по типам и физический смысл


уравнение Шредингера для стационарного состояния для ДСК ЭТ

С помощью уравнения Шредингера можно найти условие квантования энергии, которые рассматриваются как собственные функции однородной краевой задачи



-уравнение Пуассона для ДСК ЭТ

-уравнение Лапласа для ДСК ЭТ

С помощью уравнения Лапласа можно найти закономерность распределения потенциала в пространстве



волновое уравнение для ДСК ГТ

С помощью этого уравнения можно найти закон распространения волны в пространстве.





  1. Методы решения уравнений по типам

Метод характеристик для ГТ





Исходя из поставленной задачи, мы составляем характеристическое уравнение и находим его корни. С помощью этих решений делаем замену переменных и сводим уравнение к каноническому виду. Решаем уравнение и находим решение в новых переменных. Делаем обратную замену переменных и с помощью начальных условий находим решение.

Метод Римана для ГТ

Исходя из поставленной задачи, мы составляем сопряженное уравнение и условия для нахождения функции Римана. Решив это уравнение мы получаем функцию Римана, которую мы подставляем в известное решение и находим общее решение поставленной задачи.




Метод Фурье(метод разделения переменных)(для всех типов)



Граничные условия

Начальные условия









Исходя из поставленной задачи, мы разделяем переменные и получаем два уравнения с помощью введения переменной разделения. Решив уравнение относительно Х, из условий мы находим значения этой переменной. Решив другое уравнение и перемножив их, мы получили ряд решений в зависимости от значения переменной разделения. Суммируя их мы получаем общее решение.



  1. Волновое уравнение, общее решение

Однородное волновое уравнение



приводится к каноническому виду и получается его решение






  1. Уравнение Гельмгольца, общее решение




где-цилиндрическая функция



-сферическая функция

Для цилиндрической системы координат



-при отсутствии угловой и продольной зависимости

Решением уравнения Гельмгольца является цилиндрические функции с нулевым индексом, так как оно является частным случаем уравнения Бесселя при






  1. Метод характеристик


-уравнение

- условия

характеристическое уравнение



а его общие интегралы называются характеристиками.

При введении новых переменных через эти общие интегралы уравнение сводится к каноническому виду.

Общее решение принимает вид в новых переменных




  1. Почему метод характеристик так называется

Этот метод называется так потому что для уравнение

Можно составить характеристическое уравнение

а его общие интегралы называются характеристиками. При введении новых переменных через эти общие интегралы уравнение сводится к каноническому виду, а общее решение принимает вид в новых переменных




  1. Ортогональность собственных функций краевой задачи

Возьмем два решение



помножим на

помножим на

и вычтем. Полученное выражение проинтегрируем от 0 до L



из граничных условий правая часть равна нулю

тогда


  1. Основная проблема метода Римана


-уравнение

- условия

Основная проблема метода Римана заключается в том, что сложно найти функцию Римана из уравнения



и условий



на характеристике QM

на характеристике PM




  1. Уравнение Лаплас, общее решение. Уравнение Пуассона


-уравнение Пуассона

-уравнение Лапласа

Для сферической системы координат

Произведя разделение получим:



Решив эти уравнения получим





-шаровая функция


  1. Решение уравнения Гельмгольца для различных колебаний мембраны

Прямоугольная мембрана





и

и

Используя метод разделения переменных Фурье мы получаем три уравнения решив их мы получаем решение зависящее от значений двух переменных разделения поэтому производим двойное суммирование и получаем:




Круглая мембрана



и

Так же решается методом Фурье и получаем:








  1. Решение задачи методом Фурье. Разложение в ряд Фурье – Бесселя




Граничные условия

Начальные условия









Исходя из поставленной задачи, мы разделяем переменные и получаем два уравнения с помощью введения переменной разделения. Решив уравнение относительно Х, из условий мы находим значения этой переменной. Решив другое уравнение и перемножив их, мы получили ряд решений в зависимости от значения переменной разделения. Суммируя их мы получаем общее решение.

Фурье – Бесселя




  1. Линейные и нелинейные интегральные уравнения

Линейные:



- уравнение Френгольма 1-го рода

- уравнение Френгольма 2-го рода

- уравнение Вольтера 1-го рода

- уравнение Вольтера 2-го рода

Нелинейные:



- уравнение Урагона

- Гаммерштейна
- уравнение Вольтера


  1. Виды интегральных уравнений

Линейные:



- уравнение Френгольма 1-го рода

- уравнение Френгольма 2-го рода

- уравнение Вольтера 1-го рода

- уравнение Вольтера 2-го рода

Нелинейные:



- уравнение Урагона

- Гаммерштейна
- уравнение Вольтера


  1. Особенность решения уравнения теплопроводности


где U – температура

Произведя разделение переменных и решив полученные уравнения получаем:



т.к. j – любое число то общее решение имеет вид



из начальных условий









-фундаментальное решение

Фундаментальное решение дает распределение температуры, когда в начальный момент времени в точку внесено определенное количество тепла.

Общее решение дает распределение температуры, когда в начальный момент времени некоторые точки внесено определенное количество тепла. Мы их суммируем и получаем распределение температуры.


  1. Переход от волнового уравнения к уравнению Гельмгольца

- волновое уравнение

Если искать корни этого уравнения как



то перейдем к уравнению Гельмгольца






  1. Формулировка краевой задачи

Неоднородная краевая задача



и

Однородная краевая задача



и


  1. Задачи на собственные значения функции

Задача Штурма-Лювиля – на собственные числа и собственные функции




или


  1. Разложение произвольной функции в ряды при решении краевой задачи

Если функции f(x) удовлетворяет условиям:

а) f(x) непрерывна на интервале a;b

б) f(x) является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной

то ее можно разложить в ряд по собственным функциям.

где коэффициенты




  1. Цилиндрические функции


цилиндрическая функция первого рода (функция Бесселя)

цилиндрическая функция второго рода (функция Неймана)
функция Ханкеля первого рода

функция Ханкеля второго рода

-модифицированная функция Бесселя

функция Макдональда


  1. Определитель Вронского


-определитель Вронского для двух произвольных линейно-независимых решений уравнения Бесселя

Значение постоянной С зависит от




  1. Формулировка задачи Дирихле


-уравнение

или -условия



  1. Формулировка задачи Неймана


-уравнение

или -условия


  1. Сколько решений у уравнения Бесселя


функция Бесселя

функция Неймана

функция Ханкеля первого рода

функция Ханкеля второго рода

-модифицированная функция Бесселя

функция Макдональда


  1. Уравнение ортогональных ………………………………………………




  1. Отличие задачи Дирихле от Неймана

Задачи отличаются тем что в задачи Дирихле задано значение функции на поверхности или на контуреили , а в задачи Неймана задано значение производной по нормали на поверхности или на контуреили




  1. Является ли функция Бесселя решением краевой задачи

Функция Бесселя является решением краевой задачи поставленной на уравнении Бесселя.




  1. Когда существует резольвента

-резольвента Френгольма

Резольвента существует если




  1. Метод последовательных приближений.

Методом последовательных приближений решается уравнение Френгольма 2-го рода

Обычно он используется когда, гденаименьшее характеристическое значение модуля определяемого из

В нулевом приближении




-первое приближение

- второе приближение

И продолжается до тех пор пока разность между приближениями не будет меньше заданной точности




  1. Метод разделения переменных




Граничные условия

Начальные условия









Исходя из поставленной задачи, мы разделяем переменные и получаем два уравнения с помощью введения переменной разделения. Решив уравнение относительно Х, из условий мы находим значения этой переменной. Решив другое уравнение и перемножив их, мы получили ряд решений в зависимости от значения переменной разделения. Суммируя их мы получаем общее решение.


  1. Знать когда решение записывается в виде суммы, а когда в виде отдельных функций

//Если в ходе решения получается, что решение существует только при определенных значениях, то //общее решение получается суммированием этих отдельных решений. Иначе решение записывается //в виде отдельных функций.





  1. Условие независимость решений

Два решения независимы если




  1. Теория Фредгольма

Где переменныеопределенны на интервале [a;b]

Мы знаем что интегрирование это в общем суммирование на интервале [a;b]. Поэтому разобьем этот интервал на участки.

Решение этой системы запишем определитель Крамара.






Тогда получаем резольвенту

-резольвента Френгольма

используя резольвенту получаем окончательное решение уравнение Френдгольма






  1. Резольвента


-резольвента Френгольма

Свойства:

а) У каждого интегрального уравнения резольвента единственная

б) Если то при любом правильном значении резольвента удовлетворяет

в) Резольвента не зависит от функции и представляет собой частное двух целых аналитических функций

г) Полюса резольвенты совпадают с характеристическими значениями




  1. Ортогональность функций Бесселя

Возьмем два решение

помножим на

помножим на

и вычтем. Полученное выражение проинтегрируем от 0 до L



из граничных условий правая часть равна нулю, тогда







Смотрите также:
Определение типа уравнения. Приведение к каноническому виду Пример уравнений по типам и физический смысл
111.38kb.
1 стр.
Уравнения, сводящиеся к квадратным 2
149.42kb.
1 стр.
Уравнения с двумя неизвестными в целых числах
145.86kb.
1 стр.
Динамической системы и обыкновенного дифференциального уравнения. Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения
55.18kb.
1 стр.
Линейных уравнений
38.62kb.
1 стр.
«Диофантовы уравнения»
204.77kb.
1 стр.
Название предмета
78.84kb.
1 стр.
Программа спецкурса "Колебания и волны в плазменных средах"
25.35kb.
1 стр.
Программа вступительных испытаний для поступающих в магистратуру по направлению 010100. 68 «Математика»
56.88kb.
1 стр.
Решение уравнений
65.62kb.
1 стр.
Решение тригонометрических уравнений
38.75kb.
1 стр.
Динамика систем твердых тел и гироскопы
21.05kb.
1 стр.