1. 
   Системы счисления (9 кл)
   

Издавна люди умели считать. Ещё в каменном веке количество предметов люди обозначали палочками, черточками, зарубками на коре дерева, камешками и узелками, нанизанными на нить (жилу животного). Позднее для облегчения вычислений люди создавали счёты (абак), арифмометры, калькуляторы и компьютеры.

Чтобы разобраться с тем, как информация представляется в памяти компьютера, познакомимся с различными системами счисления.

Система счисления - это способ записи чисел. Она включает в себя: набор цифр (алфавит); правила записи чисел; правила арифметических действий над числами. Большинство систем счисления имеют основание.

Цифры – это символы для изображения чисел. У каждой системы счисления они могут быть свои.

Основание – количество единиц низшего разряда дающее единицу более высокого разряда; это целое положительное число, большее 1 и равное максимальному количеству различных символов – цифр данной системы. Практически каждый из вас может придумать свою систему счисления, выбрав для неё основание, придумав набор цифр и правила записи чисел из этих цифр.

Системы счисления делятся на непозиционные (значение цифры не зависит от позиции в числе) и позиционные (значение цифры зависит от позиции в числе)

1.1 Непозиционные системы счисления
Первыми появились унарные (единичные) системы счисления. Число в них образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Это были зарубки на коре дерева, черточки, палочки, камешки, узелки на верёвочке…
К непозиционным также относятся Древнеегипетская, Римская, Славянская (Древнерусская) и другие системы счисления.
В древнеегипетской системе счисления использовались специальные цифры – иероглифы для обозначения чисел 1,10,100, 1000, 10000,…

Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем ряду должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше.

Например,

1205

1 023 029

В основе данной системы счисления лежит принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Порядок записи цифр в числе и место их расположения неважны.
Римская система счисления используется и в наше время. Вот её цифры:

I V X L C D M Z

1 5 10 50 100 500 1000 2000

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. При этом применяется следующее правило: Каждая меньшая цифра, поставленная справа от большей, прибавляется к её значению, а каждая меньшая цифра, поставленная слева от большей, вычитается из неё. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок.

Например: 32=30+2=XXX+II=XXXII

444=400+40+4=CD+XL+IV=CDXLIV

1974=1000+900+70+4=M+CM+LXX+IV=MCMLXXIV
Древнегреческие системы счисления.

В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины.

Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская колония Ионии).

В Древней Руси была принята Славянская Кириллическая десятичная алфавитная система счисления. Роль цифр в ней играют буквы. Над буквами, обозначавшими числа, ставился специальный знак - титло. Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком: . Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков.

Запись числа, использованная славянами использует только сложение: = 800+60+3

Для обозначения чисел больших, чем 900, использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве (цифре из первого десятка). Из получались 1000, 10 000, 100 000 и т.д., из получались 2000, 20 000, 200 000 и т.д. Так образовывались числа:

	Тысяча	1000
	Тьма	10 000
	Легион	100 000
	Леодр	1 000 000
	Ворон	10 000 000
	Колода	100 000 000

Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.

Недостатки непозиционной системы счисления

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1.    Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2.    Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3.    Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков была счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

1.2 Позиционные системы счисления
Позиционные системы счисления значительно удобнее для вычислений, позволяют записывать бесконечное количество чисел, используя мало цифр.

Первой непозиционной системой счисления была Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная

В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

- 3; - 20; - 32;  - 59

 Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними:

Так записывается число 302, то есть 5*60+2.

А это 1*60*60+2*60+5 = 3725.

1*60*60+2*60+5 = 3725

Но представление не которых чисел в этой системе будет одинаковым, например, число 302, может быть и равно и 5*60*60 + 2 = 18002. Так как нет значка для обозначения нуля.

Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак  - наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля. Вот, например, запись числа 7203 (2*60*60+3).

2*60*60+3 = 7203

Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3*60 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3*60*60), и т. д.

 Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.

Названия современных позиционных системы счисления образованы от названий их основания. Все позиционные системы счисления имеют основание, набор цифр, базис. Основание соответствует количеству цифр в системе счисления. Базис – это последовательность чисел, каждое из которых задаёт значение цифры по его позиции в числе. Примеров позиционных систем счисления можно приводить сколько угодно. Но все они строятся по одним и тем же правилам.

Самой распространённой является десятичная система счисления. Она возникла при счете на пальцах (10 пальцев – основание 10). Именно 10 единиц низшего разряда мы перебрасываем в более высокий разряд и называем десятком. В ней используем 10 цифр от 0 до 9.

Кроме десятичной есть и другие позиционные системы счисления. Практически любое число может стать основанием для системы счисления. Кроме десятичной в настоящее время используются
12-ричная система (1 год – 12 месяцев…), 60-ричная система (1 час – 60 минут…), и другие.

Для работы компьютера используется двоичная система счисления. Она используется потому, что все элементы компьютера могут находится только в двух состояниях: включено – выключено, намагничено – не намагничено , есть ток – нет тока, работает – не работает. Для упрощения записи команд используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Сравним системы счисления:

Десятичная система счисления: основание - 10; количество цифр – 10; цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Базис: … 10-4, 10-3,10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103, 104,… пример записи чисел: 45097; 10	Двоичная система счисления: основание – 2; количество цифр – 2; цифры: 0,1 базис: … 2-4, 2-3, 2-2,, 2-1, 20, 21, 22, 23, 24,… пример записи чисел: 1011000000; 100001; 1010
Восьмеричная система счисления: основание – 8 количество цифр – 8 цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 базис: …, 8-4, 8-3, 8-2,, 8-1, 80, 81, 82,… пример записи чисел: 130051; 12	Шестнадцатеричная система счисления: основание - 16; количество цифр – 16; цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D ,E, F. базис –…16-3, 16-2,, 16-1, 160, 161, 162, 163,… пример записи чисел: В029; А

Если основание системы счисления меньше 10, то удобно (но не обязательно) в качестве алфавита использовать соответствующие арабские цифры. Например, в пятеричной системе используются пять младших десятичных цифр:0,1,2,3,4.

Если известных нам арабских цифр не хватает, (то есть основание системы счисления больше 10, но меньше либо равно 36), то для обозначения недостающих цифр используют буквы латинского алфавита: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15, G=16, H=17, I=18, J=19 и т.д.

Числа мы чаще всего записываем в свёрнутой форме, но их можно записывать и в развёрнутой, раскладывая на сумму разрядных слагаемых (раскладывая по базису).

Для примера разложим число 4532_10, то есть свёрнутое число 4532₁₀ запишем в развёрнутом виде. Индекс 10 означает, что число записано в десятичной системе счисления, основание – 10. Цифры нумеруются справа налево (от единиц), нумерация соответствует степеням основания.

3 2 1 0 номера позиций цифр в числе

4532₁₀=4000+500+30+2=4·1000+5·100+3·10+2·1=4·10³+5·10²+3·10¹+2

Воспользуемся тем же правилом и разложим число, записанное в двоичной системе счисления

7 6 5 4 3 2 1 0

10010101₂=1·2⁷+0·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+0·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰

Чтобы перевести число из 2-ичной позиционной системы счисления в десятичную надо:

1. 
   разложить число по базису соответствующей системы счисления;
   
2. 
   вычислить полученную сумму произведений. Вычисления производить в десятичной системе счисления.
   

Рассмотрим пример:

1. Перевести число 100101₂ в десятичную систему счисления:

5 4 3 2 1 0

100101₂=1·2⁵+0·2⁴+0·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰=32+0+0+4+0+1=37₁₀

Для удобства вычислений нужно знать таблицу степеней числа 2.

20 =1 21=2 22=2*2=4 23=2*2*2=8 24=2*2*2*2=16 25=2*2*2*2*2=32

26=2*2*2*2*2*2=64 27=2*2*2*2*2*2*2=128 28=2*2*2*2*2*2*2*2=256 29=2*2*2*2*2*2*2*2*2=512 210=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2=1024

Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в 2-ичную надо:

1. 
   разделить исходное число на 2 нацело и записать в качестве нового значения десятичного числа целую часть результата от деления;
   
2. 
   повторять деление до тех пор, пока исходное число не станет меньше 2.
   
3. 
   выписать последнее частное, затем остатки от деления слева направо начиная с последнего остатка. Получится запись исходного числа в 2-ичной системе счисления.
   

Пример:

2. Перевести число 75₁₀ в двоичную систему счисления.

1 способ записи: 75:2=37 (1) 37:2=18 (1) 18:2=9 (0) 9:2=4 (1) 4:2=2 (0) 2:2=1 (0) ответ: 7510 = 10010112

2 способ записи: 75 | 2 . 74| 37| 2 . 1 36 18 | 2 . 1 18 9 | 2 . 0 8. 4 | 2 . 1 4 2 | 2 . 0 2 1 0

Точно так же можно переводить числа из десятичной системы в любую другую позиционную систему и обратно, заменив при этом в алгоритме перевода основание 2 на новое.

Рассмотрим ещё несколько примеров:

3.Перевести число B0F9₁₆ в десятичную систему счисления:

3 2 1 0

B0F9₁₆ =В·16³+0·16²+F·16¹+9·16⁰=11·256+0+15·16+9·1=45305₁₀

4.Перевести число 0,1101₂ в десятичную систему счисления:

0 –1 –2 –3 -4

0,1 1 0 1₂=1·2^-1+1·2^-2+0·2^-3+1·2^-4= 1/2+1/4+0+1/16= =0,5+0,25+0,0625=0,8125

5.Перевести число 13,02₅ в десятичную систему счисления:

1 0 –1 –2

13,02₅=1·5¹+3·5⁰+0·5^-1+2·5^-2=5+3+0+2·1/5²=8+2·1/25=8+2·0,04= =8,08₁₀

6. Перевести число 90₁₀ в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления:

90:2=45 (0) 45:2=22 (1) 22:2=11 (0) 11:2=5 (1) 5:2 =2 (1) 2:2 =1 (0) ответ: 9010 = 10110102

90| 8 . 8 11| 8 . 10 8 1 8 3 2 ответ: 9010 = 1328

90| 16 . 80 5 10=A ответ: 9010=5А16

1.3 Дружественные системы счисления
Пусть p и q – основания некоторых позиционных систем счисления. Перевод из р-ичной в q-ичную систему счисления и обратно производится через десятичную, то есть из р-ичной в десятичную, из десятичной в q-ичную. Однако, перевод чисел между двоичной, четверичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами можно производить и проще. Дело в том, что они являются дружественными, то есть основание одной является степенью основания другой. 4=2², 8=2³, 16=2⁴.

Для этого перевода необходимо иметь таблицу соответствия чисел этих систем.

Для перевода из двоичной системы в восьмеричную число в двоичной системе разбивается на триады (по три цифры) начиная от запятой влево и вправо (если есть дробная часть). Если крайние левые/правые триады окажутся неполными, то они дописываются слева/справа фиктивными нулями. Учитывая это, 1=01=001=0001 и т.д.; 0,1=0,10=0,100 и т.д. Каждая триада переводится в соответствующую цифру восьмеричной системы согласно таблицы.

2 cc	000	001	010	011	100	101	110	111
8 cc	0	1	2	3	4	5	6	7

Если число в двоичной системе разбить на тетрады (по четыре цифры), то его можно перевести в шестнадцатеричную систему согласно таблице. Разбиение также производят вправо и влево от запятой и при необходимости крайние левые/правые тетрады дополняют нулями.

2 cc	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001
16cc	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2 cc	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16cc	A	B	C	D	E	F

Примеры:

1. Перевести число 1001010010₂ в восьмеричную систему:

1) разобьём его на триады, добавив впереди два нуля:

001 001 010 010

2) заменим на восьмеричные цифры согласно таблицы:

1 1 2 2

3) получили число 1122₈.

2. Перевести число 1001010010₂ в шестнадцатеричную систему счисления:

1) разобьём его на тетрады, добавив впереди два нуля:

0010 0101 0010

2) заменим на шестнадцатеричные цифры согласно таблицы:

2 5 2

3) получили число 252₁₆.

3. Записать двоичное число 1101011,00111011₂ в восьмеричной и шестнадцатеричной системах:

1101011,00111011₂= 001 101 011 , 001 110 110 = 153,166₈

1101011,00111011₂=0110 1011 , 0011 1011 = 6B,3B₁₆
4. Перевести десятичное число 27 в двоичную систему, пользуясь восьмеричной.

переведём 27 в восьмеричную систему:

27₁₀:8=3(3); 27₁₀=33₈.

Восьмеричное число 33 переводим в двоичную систему счисления используя таблицу:

33₈=011 011 =11011₂.
5. Перевести двоичное число 0,110011 в десятичную систему, используя шестнадцатеричную систему счисления:

переведём число 0,110011₂ в 16-ричную систему счисления: 0,1100110000, 1100 1100 = 0,СС₁₆

переведём число 0,СС₁₆ в десятичную:

0,СС₁₆ = 0+С·16^-1+С·16^-2 = 12·1/16+12·1/16² = 0,75+0,046875 =0,7968975₁₀

Контрольные вопросы:

1. 
   Что такое система счисления?
   
2. 
   Что такое цифры?
   
3. 
   Что такое основание?
   
4. 
   Каково главное отличие непозиционных систем счисления от позиционных?
   
5. 
   Какие вы знаете непозиционные системы счисления?
   
6. 
   Запишите числа 222, 444 и 777 в известных вам непозиционных системах счисления.
   
7. 
   Запишите свою дату рождения (число, месяц, год) в известных вам непозиционных системах счисления.
   

8. 
   Приведите примеры позиционных систем счисления с указанием их основания, цифр, базиса.
   
9. 
   Что такое развёрнутая форма записи числа? Примеры.
   
10. 
    Что такое свёрнутая форма записи числа? Примеры.
    
11. 
    Переведите число 110011₂ из двоичной в десятичную систему счисления.
    
12. 
    Переведите числа 20148, 20147, 20146, 20145 из указанных в десятичную систему счисления.
    
13. 
    Переведите число 25 из десятичной в двоичную, троичную, восьмеричную, двенадцатеричную системы счисления. Проверьте вычисления обратным переводом.
    
14. 
    Переведите число своего рождения из десятичной в двоичную систему.
    

15. 
    Используя дружественность систем счисления, переведите число своего рождения из двоичной в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления. Проверьте результат, выполнив обратный перевод полученных чисел в двоичную систему счисления.