Главная
страница 1
ФГБОУ ВПО "Брянский государственный технический университет"

Кафедра «Компьютерные технологии и системы»




Лабораторная работа №4


«решение дифференциальных уравнений в частных производных»


Выполнили:

студенты гр. 08-САПР

Попов И.С.

Семченко Е.В.


Проверил:

Филиппова Л.Б.

.
Брянск 2011


  1. Цель работы

Целью работы является изучение методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и приобретение навыков решения практических задач с использованием программного средства MathCAD.

2.Задание

Металлическая пластина, жестко закрепленная по краям, как показано на рисунке, равномерно нагружена по площади (нагрузка − P). Прогиб пластины W описывается уравнением Пуассона: где D − изгибная жесткость ; Е − модуль упругости; h − толщина пластины; ν − коэффициент Пуассона.

Рассчитайте прогиб пластины при исходных данных, приведенных в таблице. На краях пластины используйте граничное условие W = 0.


A, мм

180

B, мм

65

C, мм

100

D, мм

50

P, Н

50

h, мм

5

E, Н/м2

70·109

v

0,28

Таблица 1. Исходные данные.

3.Теоретическая часть

Метод конечных элементов основывается на том, что любое непрерывное распределение физической переменной u(x,y,z,t) в расчетной области, например деформацию или температурное поле, можно аппроксимировать набором кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (конечных элементов). Данные элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

Оператор принято обозначать значком Δ, который в этом случае носит название оператора Лапласа.

Для решения уравнения Пуассона или Лапласа на области, имеющей квадратную форму, в пакете MathCAD служат функции relax и multigrid.

Функция relax использует метод релаксации для нахождения приближенного решения. Обращение к функции relax выполняется следующим образом:

relax(a, b, c, d, e, f, u0, R),

где a, b, c, d, e – квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты вышеприведенного уравнения; f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в точках области, в которой ищется решение; u0 – квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе области и начальное приближение для решения внутри области; R – спектральный радиус итераций Якоби.

Параметр R управляет сходимостью алгоритма релаксации. Оптимальное значение R зависит от параметров задачи и выбирается в пределах 0 < R < 1.

Метод конечных разностей заключается в том, что дифференциальное уравнение в частных производных заменяется соответствующей ему системой алгебраических уравнений. Решение этой системы дает приближенное решение для искомой функции u(x,y,z,t).

4.Решение

Решим поставленную задачу в MathCAD.


















































































Результат – матрица значений прогиба в узлах сетки представлены в

таблице 2.

Таблица 2. Матрица значений прогиба.



Построим график прогиба пластины в 3-х мерном измерении(рис. 1) на котором можно видеть значения прогиба в каждой узловой точке.



Рис. 1. График прогиба
Построим график прогиба пластины (рис. 2).




Рис. 2. График прогиба металлической пластины


Вывод: В ходе работы мы рассмотрели методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, приобрели навыки решения задач с использованием программного средства MathCAD. Была решена задача о распределении нагрузки на тонкой пластине, в результате чего был получен график, исходя из которого можно судить о равномерности распределения нагрузки.


Смотрите также:
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных»
56.72kb.
1 стр.
5Исследование и построение решения задачи 32
590.96kb.
8 стр.
Программа дисциплины «Дополнительные главы дифференциальных уравнений»
230.85kb.
1 стр.
Методы интерактивной визуализации динамики жидких и газообразных сред
490.08kb.
8 стр.
Теоретические и методические основы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования
899.23kb.
4 стр.
Найти частное решение дифференциальное уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. Задание Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коффицентами где
12.91kb.
1 стр.
Решение уравнений
65.62kb.
1 стр.
О сосуществовании предельных циклов и линейных частных интегралов кубических дифференциальных систем на плоскости
88.93kb.
1 стр.
Решение уравнений
72.09kb.
1 стр.
Решение нелинейных уравнений
180.73kb.
1 стр.
К. Э. Циолковского, Москва система дифференциальных уравнений собственных изгибных колебаний упрощенной перекрестной балочной схемы ла
15.54kb.
1 стр.
Решение систем трех линейных уравнений. Матрицы и действия над ними
78.62kb.
1 стр.