Главная
страница 1
Анализ временных рядов экономических процессов

1. Построение прогноза по временным рядам 2

1.1. Предварительный анализ данных 2

Выявление аномальных наблюдений 2

Проверка наличия тренда 3

Сглаживание временных рядов 4

Задание 1 7

Задание 2 8

1.2. Построение моделей временных рядов 12

1.3. Оценка качества моделей 14

1.4. Построение точечных и интервальных прогнозов 17

Задание 3 19



Динамический ряд – совокупность наблюдений некоторого явления (показателя), упорядоченная в зависимости от последовательности значений другого явления (признака).

Временной ряд – это динамический ряд, у которого в качестве признака используется время.

Временной ряд представляется набором чисел, привязанных к последовательным, обычно равностоящим моментам времени. Числа временного ряда (элементы) называют уровнями временного ряда. Количество входящих в него уровней n называют длиной ряда Y(t), t=1,…,n. Каждый уровень временного ряда можно представить как функцию 4 компонент, закономерность и случайность развития: f(t) – тренд (долговременная тенденция) развития, S(t) – сезонная компонента, U(t) – циклическая компонента, e(t) – остаточная компонента.


1. Построение прогноза по временным рядам

1.1. Предварительный анализ данных


Определяется соответствие данных и предъявляемых математических методов (сопоставимость, полнота, устойчивость, и однородность данных), построение графика динамики и расчет основных динамических характеристик (приросты, темпы роста, коэффициенты корреляции).

Выявление аномальных наблюдений


Рассчитывается коэффициент для всех или только для подозреваемых в аномальности наблюдений (критерий Ирвина):

Если t превышает табличное значение, то уровень считается аномальным и такие наблюдения нужно исключить из временного ряда и заменить их расчетными значениями (например, среднее из соседних значений).

Таблица критических значений критерия Ирвина 


Число наблюдений n



P=0,95

P=0,99

2

2,8

3,7

3

2,2

2,9

10

1,5

2,0

20

1,3

1,8

30

1,2

1,7

50

1,1

1,6

100

1,0

1,5

400

0,9

1,3

1000

0,8

1,2

Проверка наличия тренда


Определите визуально тенденцию среднего из графика исходных данных.

Проверка наличия или отсутствия неслучайной (зависящей от времени t) составляющей сводится к проверке гипотезы неизменности среднего значения временного ряда:



а). Критерий серий, основанный на медиане

  • Выполните сортировку ряда по возрастанию

  • Определите выборочную медиану: если n нечетно, то ymed(n+1)/2 , если n четно, то ymed=0,5(y(n/2)+y(n/2)+1)

  • Далее по исходному временному ряду образуйте серии из «+» и «–»:
    если yt >ymed, то yt заменить знаком «+»,если ytmed, то yt заменить «–», а члены временного ряда, равные ymed не учитываются в полученной последовательности «+» и «–».

Образованная последовательности «+» и «–» характеризуется общим числом серий v(n) протяженностью самой длинной серии Кmax. При этом серия – это последовательность подряд идущих «+» или подряд идущих «–».

Приближенный статистический критерий проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда: если хотя бы одно из неравенств



v(n) > [0,5*(n+2-1,96*(n-1)^0,5], K max<[3,3*(lg n+1)]

окажется нарушенным, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда отвергается с вероятностью ошибки  (0,05<<0,0975), что подтверждает наличие от времени неслучайной составляющей в разложении Y(t)=f(t)+S(t)+U(t)+e(t).

Квадратные скобки означают в неравенстве целую часть числа.

б) Сравнение средних уровней ряда

Для проверки наличия тренда временной ряд разбивают на 2 примерно равные части по числу уровней части, каждая из которых рассматривается как самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение.

Если временной ряд имеет тенденцию к тренду, то средние, вычисленные для каждой совокупности должны существенно (значимо) различаться между собой.

Если же расхождение несущественно (случайно), то временной ряд не имеет тенденции.


Сглаживание временных рядов


Сглаживание временных рядов – замена фактических уровней расчетными значениями, имеющими меньшую колеблемость, чем исходные данные.

  • Метод простой скользящей средней – рекомендуется, если графическое изображение ряда напоминает прямую линию.

Этапы построения:

1.Определить количество наблюдений.

Если нужно сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берется по возможности большой. Если нужно сохранить мелкие волны и освободиться от периодически возникающих колебаний, то интервал уменьшают.

2. Вычисление среднего значения наблюдений, образующих интервальное сглаживание.

3. Интервальное сглаживание сдвигается на один член вправо до тех пор, пока в интервал сглаживания на войдет последнее наблюдение.


  • Метод взвешенной скользящей средней – рекомендуется, если процесс носит нелинейный характер.

Метод взвешенной скользящей – сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой высокого порядка. Это обусловлено тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглажи­вания, производится с определенными весами, рассчитанными по методу наименьших квадратов.

Если сглаживание производится с помощью полинома второго или третьего порядка, то веса берутся следующие:



(-3;12;17;12;-3) для m= 5;

(-2;3;6;7;3;-2) для m = 7.

Особенности весов:



  • симметричны относительно центрального члена;

  • сумма весов с учетом общего множителя равна единице.

Недостаток метода: первые и последние р наблюдений ряда остаются несглаженными.

Методы простой и взвешенной скользящей средней не дают возможности сгладить первые и последние р наблюдений временного ряда. Отсутствие сглаженных первых наблюдений не так важно по сравнению с последними наблюдениями, особенно если целью исследования является прогнозирование развития процесса.

Есть методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так же, как и всех остальных, например, метод экспоненциального сглаживания.


  • Метод экспоненциального сглаживания

Особенность метода экспоненциального сглаживания заключена в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения исполь­зуются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Относительный вес каждого наблюдения уменьшается по экспоненте по мере его удаления от момента, для которого опре­деляется сглаженное значение.

Сглаженное значение наблюдения ряда St на момент времени t определяется по формуле St(y)=yt - (1- )St-1 (y), где  – сглаживающий параметр, характеризующий вес выравни­ваемого наблюдения, причем 0< < 1.

Величину St-1 можно представить в виде сум­мы фактического значения уровня у t-1 и сглаженного значения предшествующего ему наблюдения St-2, взятых с соответствующими весами.

Процесс такого разложения можно продолжить для членов St-2 , St-3 и т.д.

Экспоненциальная средняя, т.е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

где 0 <=k<=t-1 – число периодов отставания от момента t; S0(y) – величина, характеризующая начальные условия.

Затруднения при использовании метода экспоненциального сглаживания:


  • выбор сглаживающего параметра ;

  • определение начальных условий S0(y).

От численного значения параметра  зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень.

Чем больше значение параметра , тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и, соответственно, меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней.

Задачу выбора параметра S0(y), определяющего начальные усло­вия, рекомендуется решать следующим образом:


  • если есть данные о развитии процесса в прошлом, то их среднее значение можно принять в качестве S0(y),

  • если таких сведений нет, то в качестве S0(y) использовать исходное (первое) значение уt наблюдения временного ряда.

    1. Расчет показателей динамики экономических процессов – заключительный этап предварительного анализа данных.

Традиционные показатели экономических процессов – показатели роста и прироста, которые используются для характеристики динамики изменения уровней временного ряда.

Например, показатель среднего абсолютного прироста используется для построения простейших, так называемых наивных, прогнозов, но имеет недостатки:



  • все фактические наблюдения являются результатом закономерности и случайности («отталкиваться» от последнего наблюдения неправомерно);

  • нет возможности оценить правомерность использования среднего прироста в каждом конкретном случае;

  • невозможно сформировать интервал, внутрь которого попадет прогнозируемая величина, и указать степень уверенности в этом.

Поэтому данный подход используется как первый ориентир будущего развития или же в условиях очень малого объема наблюдений при невозможности использования описываемых ниже статистических методов.

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется автокорреляция, которая характеризует взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на единиц времени, определяется величиной коэффициента корреляции r( ). Так как r( ) измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции. При этом – длину временного смещения – называют обычно лагом.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и последующих порядков называют автокорреляционной функцией. Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1, но из стационарности следует, что r( ) = - r( ).

График автокорреляционной функции называется корреллограммой. Для расчета коэффициента автокорреляции в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда:



  • наиболее высокий коэффициент автокорреляции первого порядка – исследуемый ряд содержит только тенденцию.

  • наиболее высокий коэффициент автокорреляции порядка ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени.

  • ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым – можно сделать одно из двух предположений относительно структуры ряда:

    • ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний,

    • ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты f(t) и сезонной компоненты S(t).

Задание 1


1. Выполните в Excel расчет значений Sy и t для значений, приведенных в таблице

Краткосрочные экономические показатели РФ



Квартал

Год

t

Y(t)

Квартал

Год

t

Y(t)

IV

1994

1

100

I

1999

18

116

I

1995

2

142,77

II

19

107,3

II

3

124,92

III

20

105,6

III

4

115,21

IV

21

103,9

IV

5

113,02

I

2000

22

103,94

I

1996

6

110,01

II

23

105,4

II

7

105,08

III

24

104,2

III

8

100,8

IV

25

105,4

IV

9

104,57

I

2001

26

107,1

I

1997

10

105,29

II

27

105,3

II

11

103,03

III

28

101,1

III

12

100,5

IV

29

104,1

IV

13

101,81

I

2002

30

105,4

I

1998

14

103,03

II

31

103,4

II

15

101

III

32

101,2

III

16

143,81

IV

33

104,26

IV

17

123,27

I

2003

34

105,2






Для данного примера Sy=10,62, уср= 108,44

Аномальными являются значения 2,3,16 и 17.

На диаграмме им соответствуют резкие выбросы.



  1. Найденные аномальные значения исключите из временного ряда, заменив их средними значениями, вычисленными по соседним точкам.

  2. Добавьте новую линию на диаграмму



Задание 2


  1. Выполните проверку наличия тренда для приведенных ниже в таблице данных.

  2. Постройте график для предварительного визуального анализа

Год

Урожайность
ц/га



14,1



9,3



19,4



19,7



5,4



24,2



13,8



24,5



14,7



16,6



5,6



16,2



25,3



11,9



18,5






Этапы решения:

1. Разделите временной ряд на 2 примерно одинаковые по числу уровней части: n1=7 n2=8 (n1+n2=n=15) и вычислите значение Fтабл (см.лаб.2,функция FРАСПОБР).

2. Проверку гипотезы равенства дисперсий выполните в Excel с помощью F-теста (запустите Сервис->Анализ данных->Двухвыборочный тест для дисперсии).



Введите значения для выполнения F-теста.



Анализ теста показывает, что исправленные выборочные дисперсии различаются незначительно: S2y1ср=42,16 и S2y2ср= 41,22.



Fтабл = 3,87 , Fрасч табл c вероятностью 95% нет оснований отвергать нулевую гипотезу, выборочные дисперсии

3. Проверьте гипотезу о равенстве (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера – большую дисперсию разделите на меньшую:
Fрасч= S2y1ср/ S2y2ср=1,022

4. Выполните проверку гипотезы равенства средних значений с использованием


t-критерия Стьюдента (см.лаб.2,функция СТЬЮДРАСПОБР).



  1. Выполните Сервис->Анализ данных->Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями





|tрасч|табл  нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних, расхождения между средними незначимо тренд отсутствует

  1. Выполните проверку наличия тренда для данных, приведенных в задании 1

1.2. Построение моделей временных рядов


Аналитические методы выделения неслучайной составляющей временного ряда.

Основные закономерности формирования уровней ряда:



  1. Инерция тенденции;

  2. Инерция взаимосвязи между последовательными уровнями ряда;

  3. Инерция взаимосвязи между исследуемым показателем и показателями-факторами, оказывающими на него причинное воздействие.

Различают задачи анализа и моделирования тенденций, взаимосвязи между последовательными уровнями ряда и причинных взаимодействий между исследуемым показателем и показателями-факторами:

  • решаемые с помощью моделей кривых роста,

  • решаемые с помощью адаптивных методов и моделей

  • решаемые с помощью регрессионных моделей

  1. Модели кривых роста.

Плавную кривую (гладкую функцию), аппроксимирующую временной ряд, принято называть кривой роста. Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного ряда с помощью кривых роста реализуются в рамках моделей регрессии, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная уt, а в роли единственной объясняющей переменной – время t. Наиболее часто на практике используются кривые роста, которые позволяют описывать процессы трех основных типов:

  • без предела роста – описываются функциями:

    1. прямая (полином первой степени) yt = a0 + а1t

    2. парабола (полином второй степени) yt = a0 + а1t + а2t2

    3. экспонента yt =exp(a0 + а1t) и др.

Процессы такого типа характерны в основном для абсолютных объемных показателей.

  • с пределом роста без точки перегиба – описываются функциями:

    1. кривая Джонсона,

    2. модифицированная экспонента и др.

Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателей (душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на единицу площади, затраты на один рубль произведенной продукции и т.п.).

  • с пределом роста и точкой перегиба – описываются функциями:

    1. логистическая кривая (кривая Перла-Рида)

    2. кривая Гомперца.

Такой тип развития характерен для спроса на некоторые новые товары.

Математические методы позволяют представить прогнозирующую модель в виде полинома любого порядка. Однако без необходимости использование полиномов высокого порядка представляется излишним.

Параметры моделей могут быть содержательно интерпретированы.

Например, параметр а0 во всех моделях без предела роста задает начальные условия развития, а в моделях с пределом роста – асимптоту функций, параметр а1, определяет скорость (или интенсивность) развития, параметр а2 – изменение скорости (или интенсивности) развития.

Параметры большинства кривых роста, как правило, оценива­ются по методу наименьших квадратов, т.е. подбираются таким образом, чтобы график функции кривой роста располагался на минимальном удалении отточек исходных данных.

Согласно МНК при оценке параметров модели всем наблюдениям присваиваются равные веса, т.е. их информационная ценность признается равной, а тенденция развития на всем участке наблюдений – неизменной.

Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию, например, линейной модели роста

y= a0+a1t, где a0 и a1 параметры модели, а t =1,…,n.



2. Адаптивные модели прогнозирования.

В основе экстраполяционных методов прогнозирования лежит предположение о том, что основные факторы и тенденции, имевшие место в прошлом, сохраняются в будущем. Сохранение этих тенденций – условие успешного прогнозирования.

При краткосрочном прогнозировании обычно более важна динамика исследуемого показателя на конце периода наблюдений, а не тенденция его развития, сложившаяся в среднем на всем периоде предыстории. Свойство динамичности развития экономических процессов часто преобладает над свойством инерционности. Поэтому более эффективными являются адаптивные методы, учитывающие информационную неравноценность данных. Цель адаптивных методов – построение самокорректирующихся (самонастраивающихся) экономико-математических моделей, способных отражать изменяющиеся во времени условия и давать достаточно точные оценки будущих членов данного ряда.

1.3. Оценка качества моделей


Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

1 Проверка адекватности модели реальному явлению



а). Исследование ряда остатков

еtt – уtтеор – расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений.

Наиболее важные свойства остаточной компоненты:


  • равенство математического ожидания нулю,

  • независимость последовательных уровней ряда остатков, их случайность

  • соответствие нормальному закону распределения.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется входе проверки соответствующей нулевой гипотезы H0:|| = 0

С этой целью строится t-статистика: , где – среднее арифметическое значение уровней ряда остатков et;

S – среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки:

На уровне значимости  гипотеза отклоняется, если tрасч >tтабл(,v),


где tтабл(,v) – критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1-) и степенями свободы v =n-1.

б). Проверка условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда

Критерии для проверки случайности уровней ряда:



  • критерий «восходящих» и «нисходящих» серий;

  • критерий «пиков», или критерий поворотных точек.

Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов.

Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения.

Если их больше, то возмущения быстро колеблются и это не может быть объяснено только случайностью.

Если же их меньше, то последовательные значения случайной компоненты положительно коррелированны.

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как , где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду; 1,96 – квантиль нормального распределения для 5%-го уров­ня значимости. Квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть.

Если неравенство не соблюдаетеcя, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту)  модель не является адекватной.



в). Проверка условия независимости (наличия/отсутствия автокорреляции в отклонениях от модели роста)

Осуществляется с помощью критерия Дарбина-Уотсона.



г). Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

Устанавливается правомерность построения доверительных интервалов прогноза. Ввиду малого числа наблюдений в большинстве случаев это свойство может быть проверено лишь приближенными методами, например, методом, основанном на вычислении коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ех для ряда остатков:



Значения As и Ех для нормально распределенной совокупности равны нулю.

Если одновременно выполняются неравенства , то гипотеза о нормальном характере распределения случайно компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств: , гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

В этих формулах ,где

As–среднеквадратическая ошибка (СКО) выборочной характеристики асимметрии;

Ex – среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса.

В случае попадания коэффициентов асимметрии и эксцесса в зону неопределенности (между полутора и двумя СКО) используются другие критерии, в частности RS-критерий:



, где emax и emin – соответственно максимальный и минимальный уровень ряда остатков;

– среднеквадратичное отклонение остатков.

Если расчетное значение RS попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

Табличное значение RS-критерия


Число наблюдений

Нижняя граница

Верхняя граница

10

2,67

3,69

15

2,96

4,14

20

3,18

4,49

25

3,34

4,71

30

3,47

4,89

Если все пункты проверки дают положительный результат, то выбранная трендовая модель адекватна реальному ряду эконо­мической динамики и ее можно использовать для построения про­гнозных оценок. Иначе модель надо улучшать.

2. Оценка точности модели

В статистическом анализе известно большое число характеристик точности. среднеквадратическое отклонение



  • максимальная по абсолютной величине ошибка Emax=max|et|

  • относительная максимальная ошибка

  • средняя по модулю ошибка

  • средняя по модулю относительная ошибка

Эти показатели дают представление об абсолютной величине ошибки модели и о доле ошибки в процентном отношении к среднему значению результативного признака.

При использовании ретропрогноза (несколько последних уровней ряда оставляются в качестве проверочной последовательности) – точность прогнозных оценок определяется на основе этих же показателей.

Лучшей по точности считается та модель, у которой все перечисленные характеристики имеют меньшую величину.

Эти показатели по-разному отражают степень точности модели и потому нередко дают противоречивые выводы. Для однозначного выбора лучшей модели следует воспользоваться либо одним основным показателем, либо обобщенным критерием.


1.4. Построение точечных и интервальных прогнозов


Идея экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится ив прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции.

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое –ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на предположениях:

а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;

б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;

в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.



Точечный прогноз

Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t=n+1,n+2,...,n +k, где k – период упреждения.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, имеет малую вероятность. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами:


  • выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты;

  • прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой, поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту;

  • тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя.

Ширина интервала зависит от качества модели (т.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид



где Se – стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от линии тренда);

n-р – число степеней свободы (для линейной модели у=а0+a1t количество параметров p = 2).

Коэффициент t – табличное значение t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. (Табличное значение t можно получить с помощью функции Ехсеl СТЬЮДРАСПОБР).

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Y прогн(n+k)+ U(k) – верхняя граница; Y прогн(n+k) - U(k) – нижняя граница.

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей. После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

Задание 3


Финансовый директор АО «Веста» рассматривает целесообразность ежемесячного финансирования инвестиционного проекта со следующими объемами нетто-платежей, тыс. руб.

t

yt

1

45

2

40

3

43

4

48

5

42

6

47

7

51

8

55

9

50

10

57

11

62

12

62

  1. Постройте линейную модель зависимости объемов платежей от сроков (времени).

  2. Оцените качество (адекватность и точность) построенной модели на основе исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию «пиков»;

б) независимости уровней ряда остатков по dw-критерию (в качестве критических значений использовать уровни d1 = 1,08 и d2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;

в) нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 2,7–3,7;

г) средней по модулю относительной ошибки.



  1. Определите размеры платежей на три последующих месяца (постройте точечный и интервальный прогнозы на три шага вперед (при уровне значимости 0,1), отобразите на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования).

  2. Оценить целесообразность финансирования этого проекта, если в следующем квартале на эти цели фирма может выделить только 120 тыс. руб.

Этапы решения

1. Построение модели

  • Выполните оценку параметров модели в Excel (Сервис>Анализ данных>Регрессия) и постройте линейную модель регрессии Y(t).


Результат регрессионного анализа:



коэффициенты уравнения регрессии: а0 =37,98, а1 = 1,87

Вывод остатка и графика остатков


Уравнение кривой зависимости объемов платежей от сроков (времени) имеет вид:

Y(t)= 37,98+1,87t



2. Оценка качества модели

  • Выполните оценку адекватности модели

Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений:

а) проверка независимости (отсутствия автокорреляции) определите отсутствие в ряде остатков систематической составляющей с помощью критерия Дарбина-Уотсона по формуле:



, dw'= 4 – dw = 4–2,03 = 1,97

Так как dw' попало в интервал от d2 до 2 ( по условию задачи), то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости, что означает – в ряде динамики автокорреляция отсутствует модель по этому критерию адекватна.



б) проверка случайности уровней ряда остатков – выполните проверку на основе критерия поворотных точек. Количество поворотных точек р при n = 12 равно 5

Постройте график остатков:



Неравенство выполняется (5>4)  свойство случайности выполняется  модель по этому критерию адекватна.



в) соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

Определите с помощью RS-критерия соответствие ряда остатков нормальному закону распределения:

RS = (emax- emin)/S, где

emax – максимальный уровень ряда остатков (emax = 5,14); emin – минимальный уровень ряда остатков (emin = -5,36);


S – среднеквадратическое отклонение,

Для вычисления значений emax ,emin и S используйте функции Excel: Макс(), Мин(), Срзнач(), Корень()

RS=[5,14 – (-5,36)]/3,18 =3,298

Расчетное значение попадает в интервал (2,7–3,7)  выполняется свойство нормальности распределения  модель по этому критерию адекватна.



г) Выполните проверку равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков

В данном случае еср =0  гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Данные анализа ряда остатков приведены в таблице


Проверяемое свойство

Используемая статистика

Граница

Вывод

наименование

значение

нижняя

верхняя

Независимость

dw-критерий

dw =2,03

dw`=1,97

1,08

1,36

адекватна

Случайность

Критерий «пиков»

5>4

4

адекватна

Нормальность

RS-критерий

3,298

2,7

3,7

адекватна

Среднее et=0

t-статистика Стьюдента

0







адекватна

Вывод: модель статистически адекватна

  • Выполните оценку точности модели

Вычислите среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн

Вычислите значение Еотн=

Вывод: Е~ 5,16% – хороший уровень точности модели.

1. Построение точечного и интервального прогноза на три шага вперед

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t =n + k:

y13=a0+a1t= 37,98+ 1,87*13

y14 =a0+a1t = 37,98 + 1,87*14

y15= a0+a1t = 37,98 + 1,87*15

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости  = 0,1 доверительная вероятность равна 90%, а критерий Стьюдента при v = n - 2 = 10 равен 1,812.

Ширину доверительного интервала вычислите по формуле

, где

Se – стандартная ошибка(можно взять из протокола регрессионного анализа); n-р – число степеней свободы (для линейной модели у=а0+a1t количество параметров p = 2);


t – табличное значение t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений (вычислите t помощью функции Ехсеl СТЬЮДРАСПОБР), . =6,5

Вычислите значения U(1), U(2), U(31), верхнюю и нижнюю границы прогноза постройте график

упрогн(n+k) + U(k) – верхняя граница

упрогн(n+k) - U(k) – нижняя граница



n+k

U(k)

Прогноз

Верхняя
граница

Нижняя
граница

13

6,426

62,3484848

68,774

55,923

14

6,445

64,2226107

70,668

57,777

15

6,465

66,0967366

72,562

59,632



В
ывод
:

Модель имеет вид Y(t) = 37,98 + 1,87t



Размеры платежей составят 62,35; 64,22; 66,1 тыс. руб.  денежных средств в объеме 120 тыс. руб. на финансирование этого инвестиционного проекта на три последующих месяца будет недостаточно, поэтому нужно либо изыскать дополнительные средства, либо отказаться от этого проекта.


Смотрите также:
Секція 6: Наноелектроніка мультифрактальный анализ временных рядов экономических систем
13.42kb.
1 стр.
Анализ временных рядов экономических процессов
297.91kb.
1 стр.
Программа дисциплины экономический анализ временных рядов
116.36kb.
1 стр.
Курсовая работа на тему "Прогнозирование временных рядов"
136.85kb.
1 стр.
Современный интеллектуальный анализ нечетких временных рядов
131.05kb.
1 стр.
Прогнозирование пассажирских перевозок на основе обработки временных рядов
253.58kb.
1 стр.
Программа дисциплины " анализ финансово-экономических временных рядов" для направления 521600
54.16kb.
1 стр.
Программа курса Анализ временных рядов (Седьмой семестр)
81.47kb.
1 стр.
1 Цель курса эконометрика
320.41kb.
1 стр.
Анализ временных рядов
192.55kb.
1 стр.
Эконофизика и анализ финансовых временных рядов
516.83kb.
3 стр.
Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков Cпециальность 08. 00. 13 «Математические и инструментальные методы экономики»
365.89kb.
3 стр.