Главная
страница 1
Нижегородская (III открытая) городская математическая олимпиада школьников

г. Нижний Новгород, НФ ГУ ВШЭ, 18 декабря 2005 года

8 класс

  1. Можно ли, записав подряд несколько натуральных чисел – целочисленных степеней двойки, получить число, кратное 2005? (Е.Бурков, 5 курс, ННГУ)

  2. Новая шахматная фигура «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 1, 2, … клетки (по горизонтали или вертикали). Может ли лягушка обойти всю доску 88, побывав на каждой клетке ровно 1 раз? (А.Смирнов, 1 курс, НФ ГУ ВШЭ)

  3. К – середина медианы ВМ треугольника АВС. Прямая СК пересекает сторону АВ в точке Р. Докажите, что если АК=МС, то ВРК – равнобедренный. (В.Шмаров, 10 кл., лицей №15, г.Саров)

  4. Чему равен ЧЕЛОВЕК, для которого ? (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры) (Д.Костерин, 11 кл., лицей №82, г.Н.Новгород &K)

  5. Даны 2005 отрезков длиной 1, 2, 3, …, 2005. Два игрока по очереди берут себе по одному отрезку, пока не останется ровно 3 отрезка. Если из этих трёх оставшихся отрезков можно сложить треугольник, то выигрывает первый игрок, если нельзя – то второй. Кто выигрывает при правильной игре, первый или второй игрок? (В.А.Рузанов, лицей №40, г.Н.Новгород)


Нижегородская (III открытая) городская математическая олимпиада школьников

г. Нижний Новгород, НФ ГУ ВШЭ, 18 декабря 2005 года

9 класс

  1. Разрежьте на 4 части по клеточкам фигуру, изображённую на рисунке, и сложите из них квадрат. (В.Шмаров, 10 кл., лицей №15, г.Саров)

  2. Новая шахматная фигура «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 3, 1, 2, 3,… клетки (по горизонтали или вертикали). Может ли лягушка обойти всю доску 88, побывав на каждой клетке ровно 1 раз? (А.Смирнов, 1 курс, НФ ГУ ВШЭ &K)

  3. Внутри ABC проведены отрезки AD, CE (D, E принадлежат BC и AB соответственно). Пусть O – точка пересечения AD и CE. Оказалось, что DAC=ECB, BAD=OBC. Докажите, что D – середина стороны ВС. (К.Голубев, 11 кл., лицей №165, г.Н.Новгород)

  4. Какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности, в которой все числа являются квадратами натуральных чисел и каждое следующее число получается из предыдущего приписыванием к нему справа одной цифры? (Е.Бурков, 5 курс, ННГУ)

  5. По кругу по часовой стрелке стоят числа 1, 2, 3, …, 2006 (в указанном порядке). Если по кругу стоят подряд 4 числа a, b, c, d в указанном порядке, то разрешается одновременно заменить b на (a+cd) и c на (b+da). Можно ли с помощью таких операций добиться того, чтобы с некоторого места числа стояли по кругу в следующем порядке 3, 2, 1, 4, 5, …, 2006? (В.Шмаров, 10 кл., лицей №15, г.Саров)


Нижегородская (III открытая) городская математическая олимпиада школьников

г. Нижний Новгород, НФ ГУ ВШЭ, 18 декабря 2005 года

10 класс

  1. Решите уравнение sin x + cos x = tg x + ctg x. (К.Голубев, 11 кл., лицей №165, г.Н.Новгород)

  2. Новая шахматная фигура «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 3, 1, 2, 3, … клетки (по горизонтали или вертикали). Какое наибольшее количество клеток лягушка может посетить на доске 88 (без учёта исходной клетки), если ей нельзя вставать на клетки, на которых она уже была? (А.Смирнов, 1 курс, НФ ГУ ВШЭ &K)

  3. Сколько решений имеет ребус ? (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры) (Д.Костерин, 11 кл., лицей №82, г.Н.Новгород)

  4. AA1, BB1 и СC1 – высоты остроугольного треугольника ABС. Точка D – проекция точки C1 на высоту BB1. Оказалось, что точки A1, B1, C1, D лежат на одной окружности. Какие значения может принимать величина угла ВАС? (А.Куликов, 3 курс, НФ ГУ ВШЭ)

  5. В стране 100 городов и не менее 1000 дорог между городами. Докажите, что туристическая компания имеет возможность организовать не менее 10 непересекающихся по дорогам циклических маршрутов. (Д.Васильев, 11 кл., гимназия №39, г.Уфа)


Нижегородская (III открытая) городская математическая олимпиада школьников

г. Нижний Новгород, НФ ГУ ВШЭ, 18 декабря 2005 года

11 класс

  1. За круглым столом сидят n3 математиков (некоторые из которых смотрят внутрь, а некоторые – наружу), среди которых нет родившихся в один день. Каждый из них назвал 2 числа, равных 12d+31m, где d и m – соответственно день и месяц рождения каждого из его соседей. Можно ли по их ответам гарантированно определить день рождения каждого сидящего? (А.Маслов, 10 кл., шк. 85, г.Н.Новгород, Д.Мосунова, 8 кл., лицей №15, г.Саров)

  2. Даны пять различных чисел а1, а2, а3, а4, а5. Доказать, что для некоторых i и j выполняется неравенство: . (П.Борискин, 10 кл., лицей №3, г.Саров)

  3. Могло ли сохраниться множество простых делителей натурального числа n>10 после того, как в его десятичной записи поменяли местами две различные ненулевые цифры? (Е.Чернышов, 3 курс, ННГУ)

  4. В треугольнике АВС А=60. Докажите, что 2ВС+АС>2АВ. (В.Шмаров, 10 кл., лицей №15, г.Саров)

  5. Существуют ли такие два многочлена ненулевых степеней P(x) и Q(x), что P(Q(x))+Q(P(x))=P(x)Q(x)? (Е.Чернышов, 3 курс, ННГУ)

  6. Фигура «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 3, 1, 2, 3, … клетки (по горизонтали или вертикали). Может ли лягушка обойти бесконечную клетчатую плоскость, побывав на каждой клетке ровно 1 раз? (А.Смирнов, 1 курс, НФ ГУ ВШЭ &K)


Смотрите также:
Нижегородская (III открытая) городская математическая олимпиада школьников
34.94kb.
1 стр.
Московская городская олимпиада по географии – открытая олимпиада мгу 2005-06 г. 11 класс
48.6kb.
1 стр.
Вниманию педагогов и школьников г. Томска и Томской области! Стартует отраслевая физико-математическая олимпиада школьников «Росатом», проводимая нияу мифи
32.31kb.
1 стр.
Открытая олимпиада школьников «Информационные технологии» 2012/2013
30.83kb.
1 стр.
Состав оргкомитета
31.96kb.
1 стр.
Учебный год Всероссийская олимпиада школьников
22.11kb.
1 стр.
Ноу сош всероссийская открытая Олимпиада для младших школьников по русскому языку
51.15kb.
1 стр.
Ii открытая Вузовская олимпиада школьников по географии им. С. И. Широбокова Практический тур 1
71.33kb.
1 стр.
Поволжская открытая олимпиада школьников «Будущее медицины» биология задания 2 тура 11 класс задание 1
170.96kb.
1 стр.
Семнадцатая московская открытая олимпиада по латинскому языку и античной культуре
143.26kb.
1 стр.
Физико-математическая олимпиада для школьников
145.84kb.
1 стр.
Шестнадцатая московская открытая олимпиада по латинскому языку и античной культуре
62.16kb.
1 стр.