Главная Другое
Экономика Финансы Маркетинг Астрономия География Туризм Биология История Информатика Культура Математика Физика Философия Химия Банк Право Военное дело Бухгалтерия Журналистика Спорт Психология Литература Музыка Медицина |
страница 1На правах рукописиРусаков Александр СергеевичЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ВАРИАЦИОННОЙ ИНИЦИАЛИЗАЦИИ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2007 Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН. Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,профессор Залесный В.Б.Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук Семенов Е. В. Доктор физико-математических наук, профессор Шутяев В. П. Ведущая организация: Гидрометцентр России Защита состоится «26» октября 2007 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119991 ГСП-1, Москва, ул. Губкина, 8. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН. Автореферат разослан «22» сентября 2007 г. Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук Бочаров Г. А. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы Прогноз океанической среды является важнейшей составной частью современных систем долгосрочного и среднесрочного прогноза погоды. Одним из основных требований к успешному прогнозу состояния океана является точное задание начальных условий для прогнозируемых полей – инициализация модели океана. В настоящее время накоплено и доступно в оперативном режиме большое количество данных наблюдений состояния океана. Их можно использовать как для целей прогноза, так и для исследования структуры океанических полей и их изменчивости. Прежде чем проводить прогноз с помощью численной модели, необходимо найти способ использования имеющейся информации, полученной с помощью измерений, для “наилучшей” в некотором смысле оценки начального состояния системы. Процесс такого оценивания называется “усвоением данных”. Задача определения начального состояния модели океана является обратной задачей высокой размерности − очень трудоемкой с вычислительной точки зрения. Например, даже для достаточно грубой дискретизации области Индийского океана (1ox1/2ox33) число начальных значений температуры, солености и компонент горизонтального вектора скорости составляет порядка 2.0*106. Одной из самых быстрых программ моделирования динамики океана является сигма-модель общей циркуляции океана ИВМ РАН. Сигма-модель основана на методе расщепления и неявных схемах интегрирования (Марчук 1980, Залесный 1984). Качество сигма-модели динамики океана ИВМ РАН проверено как для расчетов циркуляции Мирового океана, так и для расчета циркуляции других акваторий. Актуальной является задача дополнения сигма-модели океана ИВМ РАН методами решения обратной задачи инициализации динамики океана. Для решения задачи инициализации необходимо также усовершенствование алгоритмов прямой сигма-модели ИВМ РАН.
Целью диссертационной работы является разработка и исследование методов и алгоритмов инициализации океанологических полей в сигма-модели общей циркуляции океана ИВМ РАН. Методологической основой алгоритмов является метод расщепления и сопряженных уравнений. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:
Методы исследованияПредлагаемые в работе алгоритмы усвоения данных основаны на вариационном принципе. Для вычисления градиента и минимизации функционала используется аппарат сопряженных уравнений. Алгоритм решения сопряженной системы уравнений базируется на методе расщепления. Научная новизна работы
Реализация результатов работыРазработанные алгоритмы включены в программу моделирования общей циркуляции океана ИВМ РАН. Разработан программный комплекс, предназначенный для решения задачи инициализации данных наблюдений. Комплекс успешно опробован на решении задачи инициализации Индийского океана. Проведен цикл экспериментальных исследований практических разработок с использованием этих программ:
Численные эксперименты подтверждают работоспособность и вычислительную эффективность разработанных алгоритмов. Практическая значимость
Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах ИВМ РАН, Гидрометцентра России, на российских и международных научных конференциях. В том числе на ассамблее европейского геофизического союза (Вена, 2006), международной летней океанографической школе (Ла-Лонде, Франция, 2004), “Параллельные вычисления и задачи управления” (PACO, Москва, 2004) на конференции ”Параллельные методы вычислительной гидродинамики” (PCFD Москва 2003). Содержание отдельных разделов диссертации доложены автором и обсуждены на двух научных конференциях МФТИ (Москва 2001, 2002), на семинаре в Национальном центре среднесрочного прогноза погоды (NCMRWF, Нойда, Индия). Публикации по диссертацииПо теме диссертации автором опубликовано 8 печатных работ, из них 2 опубликованы в реферируемых журналах рекомендуемых ВАК РФ для защиты кандидатских диссертациях. Объем печатных работ 178 страниц, из них 46 принадлежат лично автору. Результаты исследований отражены также в научно-технических отчетах ИВМ РАН за 2003-2006 год. Личный вклад автора Вклад автора в совместные работы заключается в совместной постановке и анализе численных экспериментов [1-8]. В разработке методов распараллеливания и технической реализации в [1], в реализации и совместной разработке сопряженной системы уравнений и алгоритмов усвоения данных в [4-7]. Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 125 страниц и содержит, кроме основного текста, 29 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 120 наименований. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении отражена актуальность темы диссертационной работы и формулируются ее основные цели. Первая глава содержит обзор теоретических работ по решению задач усвоения данных океанографических наблюдений. Приведены оценки требований к вычислительным ресурсам основных методов усвоения данных. Показано, что использование сигма-модели ИВМ РАН в качестве основы системы усвоения данных может значительно повысить вычислительную эффективность. Вторая глава посвящена разработке алгоритмов усвоения данных наблюдений на базе вариационных методов и аппарата сопряженных уравнений применительно к сигма-модели. В параграфе 2.1 приведены уравнения сигма-модели общей циркуляции океана и описан метод расщепления, применяемый для решения уравнений. Математическая модель основывается на примитивных уравнениях океана в приближениях Буссинеска, гидростатики, записанных в ![]() ![]() ![]() В параграфе 2.2 разработан алгоритм решения задачи вариационного усвоения данных наблюдений в модели динамики океана, основанной на системе примитивных уравнений. Рассматривается система уравнений сигма-модели динамики океана с неизвестным начальным условием. Предполагается, что поля приводного давления, горизонтальных компонент вектора скорости, температуры и солености в начальный момент времени Введем в рассмотрение функционал отклонения решения от данных наблюдений где
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь Задача минимизации функционала отклонения решения от наблюдений в данной постановке не обладает свойством плотной разрешимости, т.е. даже при нулевом параметре регуляризации нельзя гарантировать, что найдется такое начальное условие уравнений модели динамики океана, при котором значение функционала отклонения станет меньше заданного . Однако практические расчеты показывают, что, с помощью метода вариационного усвоения данных наблюдений, во многих случаях удается существенно уменьшить значение функционала, оставаясь на решении системы уравнений динамики океана. В главе получены сопряженные системы уравнений, соответствующие каждому блоку метода расщепления, приведен вывод сопряженной системы уравнений для этапа адаптации скорости и для этапа нелинейной диффузии, получена формула градиента функционала. Предложен алгоритм решения сопряженной системы уравнений, базирующийся на неявных схемах. Для того, чтобы определить градиент функционала в зависимости от контрольных переменных (в нашем случае это начальное значение), рассмотрим расширенный функционал с множителями Лагранжа ![]() где сопряженные функции являются решением соответствующей сопряженной системы уравнений. Зная градиент функционала, можно построить итерационный алгоритм решения обратной задачи инициализации. Алгоритм состоит в следующей последовательности шагов: 1) в решении прямой задачи и вычислении отклонения модельного решения от данных наблюдений (источники в сопряженной задаче); 2) в решении в обратном времени сопряженной задачи и вычислении градиента функционала; 3) в расчете поправки начального условия в соответствии с вычисленным градиентом функционала. Сопряженная система уравнений имеет более сложный вид, чем уравнения исходной прямой модели, однако структура основных блоков одна и та же. Это достигается за счет симметризованной формы записи прямой системы уравнений и является оригинальной особенностью сигма-модели ИВМ РАН. Исключение составляют задачи, решаемые на этапах адаптации по вертикальной координате. Для решения такой задачи удобно использовать представление горизонтальных компонент вектора скорости В параграфе 2.4 разработан алгоритм идентификации для задачи переноса-диффузии тепла в океане. Сформулирована задача идентификации начальных и граничных условий как задачи минимизации функционала отклонения от данных наблюдений. Выписан итерационный процесс минимизации функционала и приведена теорема, обосновывающая разработанный алгоритм идентификации. В третьей главе описаны разработанный метод распараллеливания сигма-модели динамики океана и эффективный алгоритм решения задачи для “функции уровня”. ![]() Рисунок 1. Ускорение, полученное на МВС 1000М для пространственного разрешения 2.5x2x33 (148х88х33) и 0.5х0.4х33 (720х420х33) для области Мирового океана Задача определения начального состояния океана является очень трудоемкой с вычислительной точки зрения. Наибольшее ускорение расчетов можно получить за счет параллелизации алгоритмов решения сигма-модели и использования супер-компьютеров. В параграфе 3.1 разработан метод и алгоритм распараллеливания программы решения уравнений сигма-модели ИВМ РАН с граничным условием “твердой крышки” для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью. Большинство современных программ моделирования динамики океана используют явные схемы для интегрирования уравнений по времени. В отличие от большинства моделей динамики океана способ решения уравнений модели циркуляции океана ИВМ РАН основан на использовании метода расщепления и неявных схемах. Проведен анализ наиболее трудоемких мест алгоритма решения уравнений модели. В параллельной программной реализации модели использован подход SPMD (одна программа – множество данных). Обмены между процессорами реализованы с помощью MPI. Основные трудности в распараллеливании программной реализации связаны с решением трехмерного уравнения переноса-диффузии с помощью неявных схем и расчетом функции тока. Дополнительные сложности связаны с использованием балансных конечно-разностных аппроксимаций на сдвинутых сетках и со сложностью расчетной области. Для блока переноса-диффузии предлагается использовать алгоритм с одномерным распределением данных по процессорам и транспонированием. На один шаг интегрирования по времени требуется две операции транспонирования. В главе решена задача автоматического разбиения сложной расчетной области на одномерные подобласти, позволяющего сбалансировать нагрузку на процессоры. Если, например, для расчетной области Мирового океана применять равномерное распределение по широте и долготе, то нагрузка на один процессор больше, чем на другие в несколько раз. Для решения этой проблемы было применено равномерное распределение по числу расчетных точек. Разработан алгоритм автоматического разбиения, в котором учитывается сдвиг сеток для разных типов данных (температуры, компонентов вектора скоростей и функции тока). Для параллельной версии модели получено ускорение в 12 раз для разрешения 2.5x2x33 (148х88х33) на 32 процессорах и в 68 раз на 180 процессорах для разрешения 0.5х0.4х33 (720х420х33) (см рис. 1). В параграфе 3.2 описан разработанный алгоритм решения задачи модуля “функции уровня ” (2)-(4) дополненной соответствующими граничными условиями.
где Уравнения (2)-(4) аппроксимируются неявно на интервале по времени ![]() ![]() Таблица 1. Свойства и время решения СЛАУ в задаче о “функции уровня“ с помощью прямого метода
Таблица 2. Время решения одной СЛАУ в секундах для задачи o “функции уровня“ без учета времени на построение предобуславливателя с помощью выбранных итерационных методов. (lfill – максимальное число внедиагональных элементов в неполном LU разложении (ILUT), droptol – порог отбрасывания внедиагональных элементов в предобуславливателе)
Полученная в результате дискретизации СЛАУ, в зависимости от свойств вычислительной техники и размерности системы, решается либо разреженными прямыми методами (SuperLu), либо итерационными методами на основе Крыловских пространств с неполным LU разложением матрицы в качестве предобуславливателя. Проведено сравнение разных методов решения СЛАУ для задачи (2)-(4). В таблице 1 приведены параметры матрицы, полученной из задачи для “функции уровня”, для расчетной области Охотского моря с числом расчетных точек 173x88 и показано время необходимое для LU разложения матрицы и решения треугольной матрицы. В таблице 2 приведено время решения одной СЛАУ c помощью итерационных методов с предобуславливанием для задачи о “функции уровня”. Видно, что, если памяти для хранения разложения матрицы достаточно, то имеет смысл использовать прямые методы. Так же показано, что использование более “сильных” предобуславливателей может ускорить решение этой задачи в 100 раз. Еще один вывод, состоит в том, что при решении этой задачи, свойства сходимости метода QMR оказывается не хуже, чем метода GMRES. Метод QMR не требует хранить пространство Крылова, поэтому он оказывается эффективным с точки зрения использования памяти. Разработана процедура автоматического выбора метода решения в зависимости от свойств СЛАУ и доступной оперативной памяти. Аналогичные алгоритмы используются как для решения задачи (2)-(4), так и сопряженной к ней. Отметим, что безитерационный алгоритм решения задачи о “функции уровня” позволяет рассчитывать алгебраически точное значение градиента к дискретизованной прямой модели. В четвертой главе описываются проведенные численные эксперименты по моделированию динамики океана с высоким пространственным разрешением 1/8° по долготе и 1/12° по широте. Численный эксперимент по моделированию Индийского океана является первым расчетом с высоким пространственным разрешением, проведенным с помощью сигма-моделью ИВМ РАН. Одной из основных целей эксперимента является оценка адекватности вихреразрешающей сигма-модели ИВМ РАН и оценка способности сигма-модели ИВМ РАН быть составной частью системы усвоения данных. Расчеты квазиравновесной циркуляции Индийского океана проведены на 15 лет с помощью параллельной программы сигма-модели океана. На рис. 2 приведены поля скорости, полученные по модели с высоким разрешением. Сравнение результатов численного эксперимента со схемами течений, построенными по данным наблюдений, показывает адекватность вихреразрешающей сигма-модели и разработанных алгоритмов. ![]() Рисунок 2. Вычисленные среднемесячные скорости течений Индийского океана 15-го расчетного года (в ![]() В параграфе 4.2 проведены численные эксперименты по решению задачи по восстановлению начального условия в модели динамики океана. Численные эксперименты по идентификации начального условия температуры, солености, скорости в сигма-модели динамики океана проводились в расчетной области Индийского океана. Пространственное разрешение 1x0.5. Размер сеточной области 124x35x33. Период усвоения 1 сутки. Модельный шаг по времени 2 часа. В качестве данных наблюдений использованы реальные данные о поверхностной температуре и аномалии уровня. Управляя начальным условием, с помощью разработанных алгоритмов удается значительно уменьшить значения функционала отклонения. Результаты численных экспериментов показывают эффективность разработанных алгоритмов. Проведены численные эксперименты типа “идентичных близнецов”, в которых в качестве данных наблюдений использовались заранее рассчитанные по прямой модели поля скорости, температуры, солености, уровня. Результаты расчетов показывают, что разработанный алгоритм с хорошей точностью восстанавливает начальные поля течений, температуры, солености и уровня океана по информации об их поведении на временном интервале порядка нескольких суток. В заключении приведены основные результаты диссертационной работы. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Главный результат диссертационной работы состоит в следующем: разработан алгоритм решения задачи инициализации океанологических полей, основанный на методах расщепления по физическим процессам и по пространственным координатам и сопряженных уравнений. Получены следующие результаты:
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Смотрите также: Численный алгоритм вариационной инициализации океанологических полей 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
201.18kb.
1 стр.
Численное моделирование и разработка комплекса программ исследования теплообмена и ламинарного течения в регулярных продольнооребренных коридорных структурах
465.83kb.
2 стр.
Реферат по дисциплине «Основы информационных технологий»
692.14kb.
9 стр.
Разработка алгоритмов и программ решения уравнения переноса в ядерных реакторах методом поверхностных гармоник
650.79kb.
3 стр.
Разработка и исследование равновесных математических моделей рынка городских транспортных услуг 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
315.99kb.
2 стр.
Теоретико-графовые модели структуры фольклорных текстов, алгоритмы поиска закономерностей и их программная реализация
244.86kb.
1 стр.
Исследование и разработка метода моделирования посадки вертолета в сложных погодных условиях на палубу корабля
198.28kb.
1 стр.
Мохамед Математическое моделирование и алгоритмы оценки эффективности системы администрирования локальной компьютерной сети 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 05
335.44kb.
1 стр.
Методы анализа чувствительности для моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
266.16kb.
1 стр.
Вступительного испытания собеседования для магистерской программы «математическое моделирование» направление подготовки
66.83kb.
1 стр.
Шевцов Г. С., Крюкова О. Г., Мызникова Б. И. Численные методы линейной алгебры: Учеб пособие
74.55kb.
1 стр.
Учебно-методический комплекс по дисциплине численные методы специальность 230101. 65 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети 188.42kb.
1 стр.
|