Министерство образования и науки РФ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет»

Механико-математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по научной работе

___________А.Ф. Крутов

ПРОГРАММА

вступительного экзамена

по специальности 01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Самара 2011

Программа вступительных испытаний в аспирантуру по специальности 010101- ««Вещественный, комплексный и функциональный анализ» составлена Самарским государственным университетом на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования, утвержденного Советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию 15.03.2000. Номер государственной регистрации 414 ЕН/СП.

Программа утверждена на заседании ученого совета

Механико-математического факультета

протокол № ____от_________2011 г

Декан механико-математического факультета

_____________С.Я. Новиков

Математический анализ

1.Понятие числа. Рациональные, иррациональные и действительные числа. Точная верхняя и нижняя грань ограниченного числового множества. Предельные точки числового множества.

2.Числовые последовательности. Понятие предела числовой последовательности. Критерии и признаки сходимости числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых последовательностей. Замечательные пределы.

3. Числовые ряды. Сходимость и абсолютная сходимость числовых рядов. Признаки сходимости числовых рядов: признак Даламбера, признак Коши, признак Абеля--Дирихле, признак Раабе, признак Гаусса. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Умножение рядов. Повторные ряды. Суммирование повторных рядов.

4.Понятие функции. Предел функции. Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Равномерно непрерывные функции.

5. Производная и дифференциал функции. Основные теоремы дифференциального исчисления. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Высшие производные и дифференциалы.

6. Формула Тейлора. Различные формы остаточного члена: форма Пеано, форма Лагранжа, форма Шлемильха и Роша.

7. Степенные ряды. Теорема Коши--Адамара о радиусе сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

8. Интеграл Римана. Основные теоремы интегрального исчисления. Первообразная функции и ее неопределенный интеграл. Формула Ньютона--Лейбница. Техника неопределенного интегрирования. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция и бета--функция Эйлера. Формула Стирлинга.

9. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная сходимость. Признаки равномерной сходимости. Дифференцирование и интегрирование равномерно сходящихся рядов.

10. Кривая, касательная и нормаль к кривой. Кривизна и кручение кривой. Криволинейные интегралы.

11. Кратные интегралы на плоскости и в пространстве. Вычисление кратных интегралов. Замена переменных в кратном интеграле.

12. Поверхность в трехмерном пространстве. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Главные кривизны к поверхности. Гауссова кривизна поверхности.

13. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов.

14. Теорема Гаусса--Остроградского.

15. Теорема Стокса.

16. Несобственные кратные интегралы. Признаки сходимости.

17. Аппроксимации в функциональных пространствах. Ортогональные системы функций. Метод ортогонализации Шмидта. Полные системы. Понятие о рядах Фурье. Вычисление коэффициентов Фурье. Равенство Парсеваля--Стеклова. Неравенство Бесселя.

18. Сходимость ряда Фурье в точке и на множестве. Основные признаки сходимости ряда Фурье. Обобщенное суммирование рядов Фурье.

19. Порядок убывания коэффициентов Фурье и гладкость функции.

20 Интеграл Фурье. Интегральное преобразование Фурье и его обращение.

21. Понятие топологического пространства. Непрерывные отображения топологических пространств.

22. Понятие метрического пространства. Полные метрические пространства. Принцип Бэра-–Хаусдорфа.

23. Мера Лебега. Измеримые функции и их свойства. Интеграл Лебега и его свойства. Сходимость по мере и почти всюду. Предельный переход под знаком интеграла.

24. Функции ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса.

25. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы функций. Неравенство Бесселя. Сходимость рядов Фурье в гильбертовом пространстве. Равенство Парсеваля.

26. Нормированные пространства. Банаховы пространства. Три основных принципа линейного функционального анализа (теоремы Банаха об открытом отображении и обратном операторе, принцип равномерной ограниченности, теорема Хана--Банаха).

27. Ограниченные линейные функционалы и операторы, сопряженные пространства.

28. Самосопряженные, компактные операторы, проекторы.

29. Линейные интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. Теоремы Фредгольма.

29. Спектр и резольвента линейного оператора в нормированном пространстве.

30. Преобразование Фурье в пространствах L₁ и L₂. Теорема Планшереля.

32. Определение и примеры банаховых идеальных пространств (БИП) и примеры. Свойства (А),(Б) и (С) в БИП.

33. Двойственность. Интегральное представление функционалов. Критерий рефлексивности БИП. Пространства со смешанной нормой.

34. Пространства L_p(T, ,µ) (1 ≤p< ) [1, гл.6.2].

35. Симметричные пространства (СП). Равноизмеримые функции. Перестановка измеримой функции. Индексы растяжения функций. Вогнутые функции на полуоси

36. Определение и примеры СП: пространства Орлича, Лоренца, Марцинкевича. Основные свойства СП на отрезке и полуоси. Двойственность.

37. Теоремы вложения СП. Полугруппа операторов, ограниченных в пространствах L_1 и L. Оператор Харди-– Литтльвуда и его сопряженный.

38. Оператор растяжения и индексы Бойда.

39. Независимые функции. Система Радемахера и неравенство Хинчина.

40 Полные и минимальные системы в банаховом пространстве (БП). Базисы и их примеры. Критерий базисности.

41. Безусловные базисы в БП. Критерий безусловной базисности.

42. Функция Лебега функциональной системы. Функция Лебега для тригонометрической системы.

43. Интерполяция операторов. Интерполяционная теорема Рисса--Торина и ее приложения.

44. Операторы слабого типа. Интерполяционная теорема Марцинкевича.

45. Определения и основные свойства пространств К- и J– методов интерполяции и их эквивалентность. Вещественный метод интерполяции.

46. Теорема о реитерации для пространств вещественного метода интерполяции.

47. Двойственность пространств вещественного метода интерполяции.

48. Элементы гармонического анализа. Обобщенные функции или распределения на единичной окружности Т.

49. Свертка обобщенных функций и ее свойства.

50. Общий вид операторов, инвариантных относительно сдвига. Собственные векторы и собственные числа операторов, инвариантных относительно сдвига.

51. Свертка и корреляционная функция на вещественной прямой R. Преобразование Фурье и свертка.

52. Формула суммирования Пуассона.

53. Преобразование Фурье обобщенных функций.

54. 
    Вейвлеты (всплески) Хаара как простейший пример кратномасштабного анализа.
    

Литература

1. 
   Садовничий В.А. Теория операторов. М.: ДРОФА, 2004.
   
2. 
   Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. – М.: МЦНМО, 2004.
   
3. 
   Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981
   
4. 
   Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. — М.: «Факториал Пресс», 2002.
   
5. 
   Богачев В.И. Основы теории меры. –М. Ижевск. Ниу РХД.2003.
   
6. 
   Келли Дж. Л. Общая топология. –М.: Наука, 1981.
   
7. 
   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.--М.: Наука, 1984.
   
8. 
   Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978.
   
9. 
   Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II, Berlin, Springer–-Verlag, 1979.
   
10. 
    Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. – М.: Физматгиз, 1958.
    
11. 
    Кашин Б.С., Саанян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1999.
    
12. 
    Lindenstrauss J., Tzafoiri L. Classical Banach Spaces 1, - Berlin, Springer-–Verlag, 1978.
    
13. 
    Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные простраства. Введение. –М.: Мир, 1980.
    
14. 
    Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. – М.: Мир, 1980.
    
15. 
    Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2. М.: Мир, 1985.