УДК 531.01
РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕСА
А.В. Костарев

Санкт - Петербургский государственный политехнический университет.

Санкт – Петербург, Россия
Аннотация. Предложены способы экспериментального определения коэффициентов трения качения и сопротивления дороги. Учет сопротивления дороги позволяет исследовать режимы движения колеса, которые не могут быть описаны в рамках традиционной модели трения качения [1-5].

Ключевые слова: трение качения, сопротивление дороги, буксование, качение, юз.
Как показано в работе [6], при качении колеса возникает не только момент трения качения колеса, но и сила сопротивления дороги. Абсолютно твердое колесо не испытывает момента трения качения. Абсолютно твердая дорога не создает силы сопротивления. Для любой пары материалов можно составить две пары колесо – дорога, для каждой из которой могут быть экспериментально определены два коэффициента сопротивления: коэффициент трения качения k и коэффициент сопротивления дороги k₁. Определить коэффициенты k и k₁ можно с помощью, например, следующих двух экспериментов.

Изготавливается плита из материала дороги и цилиндр из материала колеса. Подбирается смазка, обеспечивающая минимальный коэффициент трения скольжения для выбранной пары материалов колеса и дороги. Измеряется радиус колеса r и коэффициент трения скольжения f между торцом цилиндра и плитой.

А. Для определения коэффициента трения качения k неподвижная ось цилиндра нагружается силой Р. Измеряется момент М, необходимый для равномерного вращения цилиндра. Коэффициент трения качения вычисляют из условия равновесия


В. Для определения коэффициента сопротивления дороги k₁ вращение цилиндра

блокируется. Измеряется усилие F, необходимое для равномерного поступательного движения цилиндра. Коэффициент сопротивления дороги k₁ вычисляется из условия равновесия.

F

r

r

δ₁

δ

С

M, ψ

P

Рис.1

N≈ P

F_тр

x

Учет сопротивления дороги позволяет более полно описать режимы движения колеса.

Рассмотрим колесную пару с параметрами: r - радиус колес пары, m - масса (например, автомобиля или поезда), приведенная к оси пары, J - момент инерции пары относительно ее оси.

Нагрузка на колесную пару в общем случае состоит из вертикальной силы Р, горизонтальной силы F и вращательного момента М (Рис.1). Считаем, что коэффициенты трения скольжения f, трения качения k и сопротивления дороги определены опытным путем.

Исследуем режимы движения колесной пары, пользуясь дифференциальными уравнениями, полученными в [1]:



(3)

1. 
   Покой
   

1. 
   Условия:
   
2. 
   Уравнения покоя
   
   Определяем силу трения и смещения ,
   

M

F_тр

F

r

r

F

P

N

Рис.4

Сила трения обращается в ноль при , а также, как и следовало ожидать, для ведущего колеса (F = 0) на твердой дороге ( (Рис.2) и ведомого (М =0) твердого ( =0) колеса (Рис.3).

F

F_c

N

P

Рис.3

Рис 2

Mψ

N

δδ

P

3. 
   Скольжение начинается при
   

4. 
   Смещения , ри
   

когда деформация дороги и колеса симметрична относительно центральной вертикали и сопротивление отсутствует (Рис. 4)

2. 
   Буксование на месте.
   

Этот практически важный режим невозможен в традиционной модели трения качения.

1. 
   Условия:
   
2. 
   Уравнения движения
   

3. 
   Определяем ускорение и смещение
   

4. 
   Из условия находим ограничение на нагрузку или коэффициент трения скольжения для поддержания режима.
   

5. 
   Вращение будет равномерным при
   

6. 
   Центр колеса начинает движение и колесо переходит в режим качения с буксованием при
   

3. 
   Движение с пробуксовкой (разгон)
   

1. 
   Условия:
   
2. 
   Уравнения движения
   

3. 
   Равномерное движение при
   

4. 
   Режим со временем перейдет к чистому качению при
   

4. 
   Чистое качение
   

1. 
   Условия:
   
2. 
   Уравнения движения:
   

3. 
   Определяем силу трения и ускорение
   

4. 
   Проекция силы трения меняет свой знак при
   
5. 
   Буксование начнется при
   
6. 
   Юз начнется при
   
7. 
   Колесо будет катиться равномерно при
   

5. Движение с юзом (торможение).

1. 
   
   
   1. 
      
      

1. 
   Условия:
   

5.2 Уравнения движения:

3. 
   Вращение со временем прекратиться и колесо перейдет в режим юза без вращения при
   

6. Юз без вращения.

2. 
   
   
   1. 
      
      

1. 
   Условия:
   
2. 
   Уравнения движения:
   

3. 
   Определяем смещениеи ускорение
   

4. 
   Смещение обращается в ноль при
   
5. 
   Вращение колеса начинается при
   
6. 
   Колесо будет двигаться поступательно и равномерно при
   
   

7. Юз с обратным вращением

x

ω_о

mg

F_тр

m_тк

N

V_о

F_c

Рис.5

Обруч радиуса r бросают вдоль дороги с начальной скоростью центра , придав ему обратное вращение со скоростью . Коэффициент трения f , коэффициенты сопротивления и .

Найти угловую скорость , при которой движение центра и вращение обруча прекратятся одновременно. Найти когда и где это произойдет.

Решение:

При движении обруча сила трения , момент трения качения и сила сопротивления не изменяются по модулю

Уравнения движения обруча

(6)

(7)

Интегрируя уравнения при начальных условиях , находим

В момент времени

центр обруча останавливается. Чтобы одновременно прекратилось и его вращение, нужно чтобы модуль начальной угловой скорости был равен


К этому моменту центр обруча пройдет путь:


Заметим, что при отсутствии трения скольжения обруч все же остановится на расстоянии

что в традиционной модели трения качения невозможно.

8. Увеличение силы тяги локомотива.

Рассмотрим колесную пару локомотива, на которую действуют: нагрузка на ось P, нормальная реакция N, вращательный момент М со стороны двигателя, приведенная сила F со стороны состава, сила сопротивления F_c со стороны рельсов, момент трения качения m_тк , ведущая сила трения F_тр,

x

ω

P

F_тр

m_тк

N

V

F_c

Рис.6

F

M

Найдем при каких условиях локомотив создаст максимальную силу тяги F, действующую на состав в момент начала буксования ( при равномерном движении состава.

Уравнения равномерного движения колесной пары:

Очевидно, что момент сопротивления качению пары без проблем преодолевается моментом М двигателя локомотива, который машинист должен поддерживать на уровне:

(15)

Поэтому колеса локомотива могут быть изготовлены из материала с относительно большим коэффициентом . Увеличение коэффициентов и увеличивает площадь контакта и улучшает сцепление колеса с рельсом.

Увеличение силы тяги F локомотива


достигается повышением твердости рельсов, то есть уменьшением коэффициента их сопротивления .

Литература

1. 
   Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.1. М.: Наука, 1982. 352с.
   
2. 
   Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. СПб: Лань, 1998. 729с.
   
3. 
   Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 2003, 719с.
   
4. 
   Курс теоретической механики. // Под ред. Колесникова К.С. М.: МГТУ, 2000. 735с.
   
5. 
   Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.II.М.: Высшая школа, 1971.488 с.
   
6. 
   Костарев А.В. Сопротивление движению колеса // «Вестник научно-технического развития: Интернет- журнал». - № 2 (30). - 2010.- http://www.vntr.ru/ftpgetfile.php?id=391 (дата обращения: 26.04.2010). – номер гос. регистрации: 0421000120\0006