Главная
страница 1
Материалы по теории вероятностей и статистике для использования на уроке, во внеурочное время, для оформления

стенда «Сегодня на уроке» и т. д.

О первой попытке введения теории вероятностей в школу.

1 (13) февраля 2008 г. исполнилось 155 лет со дня рождения русского математика и философа Павла Алексеевича Некрасова. Родился он в с. Житово Рязанской губернии в семье священника. Среднее образование получил в Рязанской духовной семинарии. По окончании семинарии в 1874 г. поступил на физико-математический факультет Московского университета. В 1878 г. П.А. Некрасов окончил университет со степенью кандидата, и был оставлен при кафедре чистой математики физико-математического факультета для приготовления к профессорскому званию. Одновременно он определился учителем математики в московское реальное училище Воскресенского.

В 1883 г. за диссертацию «Исследование уравнений вида ит - рип - q = 0» П.А. Некрасов получил степень магистра и с этого же года стал преподавать на физико-математическом факультете в качестве приват-доцента, совмещая работу в Московском университете с преподаванием теории вероятностей в Межевом институте. За диссертацию «Ряд Лагранжа» он получил степень доктора чистой математики.

В 1891 г. Павел Алексеевич был утвержден деканом физико-математического факультета Московского университета, а в 1893 г. сменил на посту ректора Н.П.Боголепова, на котором и находился до 1898 г. Во время ректорства П.А. Некрасова Московским университетом в 1894 г. был организован и проведен IX Съезд русских естествоиспытателей и врачей. В феврале 1898 г. при университете было основано Педагогическое общество, деятельное участие, в организации которого принимали многие ведущие профессора. В ректорский срок Павел Алексеевич состоял секретарем, затем — вице-президентом, а с 1903 по 1905 гг. — председателем Московского математического общества, в недрах которого сформировалась Московская философско-математическая школа. Вместе с другими участниками математического общества (В.Г. Алексеевым, Н.В.Бугаевым, П.А. Флоренским и др.) он видел в математическом мышлении особый вид «синтетического» познания («математический логос»). Проблема философского осмысления теории вероятностей занимала центральное место в его философско-научных исследованиях.

В 1897 (1898) г. действительный статский советник П.А. Некрасов был назначен на должность попечителя Московского учебного округа, поэтому еще долго в своей практической деятельности он соприкасался с Московским университетом. На новом посту он много работал над школьной реформой. С этой должности ушел лишь в 1905 г., и был переведен на службу в Министерство народного просвещения в Петербург. П.А. Некрасовым было написано много статей, большей частью в «Математическом сборнике» и журнале Московского математического кружка «Математическое образование». Статьи относились в основном к теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Кроме этого он написал ряд книг: «Приложение алгебры к геометрии, с конкретным истолкованием геометрии Лобачевского» (1897), «Теория вероятностей» (1912), «Теория вероятностей и математика в средней школе» (1915) и другие.

П.А. Некрасов выступал за введение теории вероятностей в среднюю школу. На II Всероссийском съезде преподавателей математики 28 декабря 1913 г. этому вопросу был посвящен его доклад «Об учебных особенностях двух направлений математического курса средней школы». По его мнению, школе необходим такой учебный план, который включал бы в себя преподавание основ комбинаторного анализа и статистического метода. Этот план должен был включать следующие разделы: 1) теорию соединений и перемещений; 2) теорию вероятностей с логической классификацией признаков и причин и с «законами больших чисел»; 3) статистическую теорию взаимоотношений, или (по английской терминологии) корреляций, включающую способ наименьших квадратов и вырабатывающую аксиомы и теоремы или постулаты физико-химических, биологических и экономических наук.

С этим и многими другими докладами, касающимися вопроса введения теории вероятностей в школьное обучение, Некрасов выступал и на заседании Московского математического кружка, созданного на базе Московского университета.

Сторонниками и единомышленниками Некрасова были педагог П.С. Флоров (директор Урюпинского реального училища) и профессор Юрьевского университета, член совета министра народного просвещения В.Г. Алексеев. Что касается идей Флорова, то часть его методических работ была опубликована в «Трудах XI Съезда русских естествоиспытателей и врачей» (СПб., 1901-1902 гг.) и в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» (Одесса, 1912 г.) Вместе с П.А. Некрасовым он являлся составителем программы по теории вероятностей для средней школы, которая была опубликована в журналах «Математическое образование» и трех последовательных номерах «Журнала Министерства народного просвещения». При изучении основного курса учащиеся должны познакомиться со следующими фактами: теорией соединений, понятием вероятности, биномом Ньютона, теоремой Я. Бернулли, видоизменением теоремы Я.Бернулли (теоремой К. Пирсона). В дополнениях должны быть рассмотрены: перемножение вероятностей, сложение вероятностей, задача Гюйгенса, теорема Чебышёва, теорема Байеса, «свидетельские показания», задача Бюффона, задача о разорении игроков, некоторые приложения понятия математического ожидания, страхование жизни.

По мнению Некрасова, наука о случайном оказывает благотворное влияние на развитие мыслительных способностей и логических умений учащихся. «Это развивающее значение кроется в том обстоятельстве, что теория вероятностей, как интуитивная функция сознания, называемая здравым смыслом, неразрывно связана своими сомнениями и воззрениями с самим субъектом... Математическая теория вероятностей перебрасывает среди всех сомнений надлежащий мост от объекта через частный и общечеловеческий опыт к внешней реальности. При этом теория вероятностей интенсивно упражняет учеников в индуктивной логике, параллельной априори обдуманному опыту...».

По его мнению, «гимназический курс теории сочетаний, перемещений и вероятностей должен содержать образцовые задачи с таким расчетом, чтобы статистическое мировоззрение имело возможность обозревать и связывать в целое разные частные науки и различные профессиональные дисциплины, коими впоследствии заканчивается образование личности», а это говорит о реализации прикладной направленности школьного курса математики.

Что касается коммерческих училищ, то главной особенностью программы курса коммерческого направления, по мнению П.А. Некрасова, являются математические основы комбинаторного анализа и статистического метода. Автор считает этот раздел основой математико-статистического мировоззрения, на котором покоится обширная группа наук, в том числе и экономическая. «Понятием "корреляция" статистическое мировоззрение резко отличается от более узкого механического мировоззрения; последнее есть только часть первого; отыскивающая в природе лишь совершенно определенные функциональные зависимости или связи величин».

Активным противником проекта П.А. Некрасова и П.С. Флорова являлся профессор Петербургского университета, академик А.А. Марков. В майском номере «Журнала Министерства народного просвещения» (1915) А.А. Марков дал сжатую, но предельно четкую характеристику проекта П.А. Некрасова и П.С. Флорова, в которой указал, что «порядок, рекомендуемый программой, является недопустимым, так как им нарушается логика развертывания понятий данной математической дисциплины (теорема Я. Бернулли предшествует теоремам сложения и умножения вероятностей)». Также он высказывал недовольство по поводу содержания изучаемого материала: «.. .в программу введен самый слабый отдел теории вероятностей - о свидетельских показаниях, который с полным основанием можно пропускать в университетском курсе (в "Теории вероятностей" профессора В.П. Ермакова этого отдела вообще нет; в моей книге ему посвящено 5 страниц и на примере показано, что решению задач, сюда относящихся, нельзя придавать большого значения)». Как утверждают отдельные источники, спор между А.А. Марковым и П.А. Некрасовым был бесконечен. Анализируя некоторые из их суждений, сейчас можно сказать, что каждый из ученых бы прав по-своему. Действительно, как можно рассматривать теорему Я. Бернулли, при этом ничего не зная об умножении вероятностей, или давать фундаментальные теоретические выкладки учащимся средней школы и при этом обходить стороной простейшие приложения статистики? С другой стороны, идеи, высказанные П.А. Некрасовым, находят отражение в современном школьном образовании. Важно также заметить, что Марков не отвергал идею введения элементов статистики в курс средней школы, а критиковал концепцию ее изложения, предложенную П.А. Некрасовым и его сторонниками. Но именно Марков в основном провалил поддержанное Некрасовым (в ту пору руководящим чиновником Министерства народного просвещения) предложение о введении теории вероятностей в среднюю школу.



От игр к вероятности

В начале были игры

Если сравнить с тысячелетней историей математики, теория вероятностей — наука совсем молодая, первые научные трактаты, связанные с ней, появляются только в XVI в. Но то, что случайность подчиняется каким-то своим законам, люди заметили еще в глубокой древности. Откуда это известно? Конечно, от археологов. При раскопках специально обработанные для игры кости животных находят уже в поселениях древних людей, относящихся к V тысячелетию до н.э. Чаще всего для этого использовали косточку, расположенную между пяткой и голенью. Позже для игр стали изготавливать специальные граненые палочки с отметками на гранях. А затем стали появляться игральные кубики, очень похожие на современные, даже грани у них нумеровались так же, как и сейчас: 1 против 6, 2 против 5 и 4 против 3. Самый древний из хранящихся в музеях игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к XX в. до н.э.

Можно считать установленным, что во время игры или гадания эти кости подбрасывали и следили за тем, как они упадут. У косточек, которые использовались для этих целей, есть четыре явно выраженные грани; было хорошо известно, какие из граней выпадают чаще, а какие — реже. Но никаких количественных оценок случайности, похоже, до второго тысячелетия люди не знали.

Игры, основанные на случайности, вызывали огромное возбуждение, азарт у всех участников. В эти игры часто играли на деньги. И государство, и церковь не раз пытались запретить азартные игры, но безуспешно.

Конечно, игроки рассчитывали на свою удачу, но многие из них старались как-то обобщить накопленный опыт и найти надежные правила, увеличивающие шансы в игре. Так накапливались первые наблюдения над законами, управляющими случаем.

Наблюдаем за случаем

Давайте и мы попробуем посмотреть, как проявляются законы, которым подчиняется случай. Проще всего это сделать с помощью обыкновенной монетки. Попробуем подбрасывать ее над какой-нибудь плоской поверхностью (над столом или над полом). Монетку надо подбрасывать так, чтобы она крутилась и нельзя было заранее знать, какой стороной она упадет. Подумаем сначала: какого результата надо ожидать от нашего опыта? Если монетка ровная, без дефектов, а при подбрасывании мы ее сильно закручиваем, то каждый скажет, что герб и решка (то есть, цифра) будут появляться одинаково часто: примерно в половине случаев мы должны увидеть герб, а в половине — решку. Что же происходит на самом деле? Давайте посмотрим на следующую таблицу. В каждой клеточке этой таблицы записано число появлений герба при десяти подбрасываниях монетки, а всего монетку для составления этой таблицы бросали тысячу раз. В конце каждого столбца стоит сумма чисел из всех его клеточек, то есть количество появлений герба при сотне подбрасываний



7

6

4

6

4

3

4

3

4

5

7

6

3

5

5

6

6

4

6

5

6

6

5

4

6

6

4

4

6

4

5

5

4

2

3

4

5

6

4

4

7

4

4

6

4

5

4

4

4

7

6

4

5

7

7

4

6

4

6

4

3

5

7

3

4

5

4

4

5

7

7

4

3

4

3

4

6

5

5

7

5

6

8

7

6

5

5

5

3

3

4

5

4

3

5

4

4

6

5

2

57

51

47

47

47

46

48

45

48

48

Что же показывает наша таблица? При маленьком числе подбрасываний наши ожидания не оправдываются — частота появления герба и решки может отличаться в несколько раз. Но если увеличить число бросков хотя бы до 100, то результаты опыта становятся уже гораздо ближе к ожидаемым. А общее число гербов в этой серии из 1000 подбрасываний равно 484, что уже близко к половине.

Этот пример хорошо показывает, как работают законы, управляющие случайностью: предсказать, как именно закончится следующее испытание, не может никто, но если повторять опыт много-много раз, то доля событий определенного сорта (в нашем случае — выпадений герба) будет всегда примерно одной и той же. Это явление называют статистической устойчивостью.



Как вы думаете...

С какой частотой будет выпадать шестерка при подбрасывании игрального кубика?

Можно ли утверждать, что шанс получить тройку при следующем бросании кубика практически равен нулю, если до этого тройка уже выпала пять раз подряд?

Измерим забывчивость.

Статистической устойчивостью обладают далеко не все события. Во-первых, чтобы говорить о статистической устойчивости какого-то события, надо, чтобы условия, в которых можно его наблюдать, хотя бы в принципе поддавались многократному повторению. Поэтому бессмысленно пытаться вычислить вероятность какого-нибудь исторического события или поступка какого-нибудь конкретного человека. Однако это свойство есть у очень многих событий. Например, еще в XVIII в. было замечено, что доля писем, отправленных без адреса, очень мало меняется год от года и составляет примерно 25-27 писем на миллион. Это значит, что вероятность того, что человек, вложив письмо в конверт, забудет его подписать, равна примерно 25/1 000 000.



Как вы думаете...

Обладают ли следующие природные явления свойством многократного повторения: восход солнца; морские приливы; смена времен года? Приведите свой пример.

Какие события обладают статистической устойчивостью: рождение детей определенного пола; количество котят в приплоде; количество солнечных дней в году; ежегодный урожай яблок; получение двойки?

по материалам Математического клуба «Кенгуру»

Какова вероятность встретить динозавра?

Анекдот: «Вопрос: какова вероятность того, что, выйдя из дома, вы встретите динозавра? Ответ: одна вторая — либо встречу, либо нет». Очень полезный анекдот, он показывает со всей абсурдностью, что если есть две возможности развития события, то это еще не означает, что вероятность каждого равна одной второй. Вот если бы они были равновероятны, тогда другое дело. Но именно этого-то и нет. Учитывая тот факт, что динозавры вымерли (доверимся биологам), придется признать, что вероятность события «встретить динозавра» равна нулю. Что собственно и не противоречит здравому смыслу: много ли вы знаете людей, видевших динозавра? В аналогичной ситуации с прогнозом погоды — например, Гидрометцентр объявил, что вероятность дождя равна 50%,— вы обязательно, выходя из дома, возьмете с собой зонт. В этом случае мы доверяем своему опыту, который сложился на основе неоднократного проведения эксперимента под названием «выйти из дома без зонта». Это жизненный опыт, который тоже ничему здесь не противоречит. Давайте же учить наших учащихся чаще опираться на здравый смысл и доверять опыту.



Случай часто событием правит,

Порождает и радость и боль,

И задачу пред нами жизнь ставит:

Как постигнуть случайности роль?

А мы случайно повстречались,

Мой самый главный человек.

Благословляю ту случайность

И благодарен ей навек.

Представить страшно мне теперь,

Что я не ту открыл бы дверь,

Другой бы улицей пошёл,

Тебя не встретил, не нашёл…

Сценка «Бесплатный обед»

Ведущий. Восемь шестиклассников, решив отпраздновать окончание I четверти в кафе, заспорили у стола о том, как усесться вокруг него.

1-й. Давайте сядем в алфавитном порядке, тогда никому не будет обидно.

2-й. Нет, сядем по возрасту.

3-й. Нет-нет, по успеваемости.

4-й. Да ну, опять успеваемость, надоело.

5-й. Тогда предлагаю сесть по росту, и никаких проблем.

6-й. Устроим здесь физкультуру, не так ли?

7-й. Придется тащить жребий.

8-й. Ну уж нет.

1-й. По-моему, уже обед остыл.

2-й. Я сажусь, где понравится, и вы давайте за мной.

(Появляется официант.)

Официант. Вы еще не расселись? Друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, и выслушайте меня.

(Все сели как попало.)

Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы придете и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-иному и т.д., пока не перепробуете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы сегодня, тогда обещаю — я начну ежедневно угощать вас всех бесплатно самыми изысканными обедами.



Друзья (почти хором). Вот здорово, будем каждый день обедать у вас.

Ведущий. Друзьям не пришлось дождаться того дня, когда они стали питаться бесплатно. И не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется ни мало ни много — 40 320. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 110 лет! Вам может показаться невероятным, чтобы 8 человек могли размещаться таким большим числом различных способов. Проверьте расчет сами. Возьмите любое трехзначное число, допустим 321. Сколько еще можно получить чисел путем перестановки цифр этого трехзначного числа? 321, 312, 213, 231, 123, 132. Всего 6. Добавим четвертую цифру, например 5. Сколько будет перестановок? Если цифру 5 поставить на первое место, то три другие дадут шесть перестановок, значит, так как у нас всего 4 цифры, то всего получится 4 • 6 = 24 перестановки. То есть, когда взяли три цифры, перестановок ровно 1 • 2 • 3 = 6, а в нашем случае число перестановок равно 1-2-3-4-5-6-7-8 = 40 320.

Официант. Вот так то, друзья мои, бесплатный сыр бывает только в мышеловке!


Смотрите также:
О первой попытке введения теории вероятностей в школу
146.17kb.
1 стр.
Рабочая учебная программа По дисциплине: Избранные главы теории вероятностей По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
180.17kb.
1 стр.
Лектор: профессор В. Н. Акимов Основы теории вероятностей и математической статистики. Основы теории вероятностей
21.69kb.
1 стр.
Вопросы по теории вероятностей
267.12kb.
1 стр.
Теория вероятностей
35.76kb.
1 стр.
1. Программа курса «теория вероятностей и математическая статистика» Раздел I. Теория вероятностей. Тема Основные понятия теории вероятностей. Предмет курса
1432.57kb.
5 стр.
Колмогоров Андрей Николаевич
96.52kb.
1 стр.
Элементы теории вероятностей Нижний Новгород 2007
390.11kb.
4 стр.
Сценарий на «Новый год 2012»
38.65kb.
1 стр.
Справочник по теории вероятностей для студентов экономических специальностей. Учебное пособие
344.04kb.
3 стр.
Элементы теории вероятностей
127.38kb.
1 стр.
Промышленные Школьные поставки Муниципалитета г. Модена Эта служба занимается поставкой обеда для детей, которые посещают: Ясли-Сад, Детские Сады, Первоначальную и Начальную Школу Первой степени
36.13kb.
1 стр.