Приведение матрицы к диагональному виду. Каноническое разложение матрицы.

Пусть дана квадратная матрица А порядка n. Если возможно из каких-либо n собственных векторов матрицы А, принадлежащих собственно числам , как из столбцов построить квадратную невырожденную матрицу S порядка n, то будет выполняться соотношение S^-1АS=Λ, где Λ= – диагональная матрица с собственными значениями матрицы А по диагонали. При этом говорят, что матрица А приводится матрицей S к диагональному виду. Матрица А в этом случае называется матрицей простой структуры. К матрицам простой структуры относятся симметрические матрицы и матрицы простого спектра. Матрицы простого спектра – это те матрицы, у которых все собственные значения различны и их число совпадает с порядком матрицы.

Из соотношения S^-1АS=Λ получается соотношение А=SΛS^-1 – каноническое разложение матрицы А.

Если матрицу S, удовлетворяющую соотношению S ¹АS=Λ, построить нельзя, то матрица А не приводится к диагональному виду, и, следовательно, не обладает каноническим разложением.

При конструировании матрицы S для соотношений S ¹АS=Λ и А=SΛS^-1 нужно найти все собственные значения матрицы А и при каждом собственном значении λi построить фундаментальную систему решений (ФСР) однородной системы уравнений (А– λiЕ)Х=0. Из решений всех таких ФСР, как из столбцов, составить матрицу S. Причём в матрице S столбцами записываются решения по каждому λi в порядке нумерации собственных значений (одинаковые λi считаются столько раз, какова их кратность). Если матрица S окажется квадратной, то она будет удовлетворять соотношениям S^-1АS=Λ и А=SΛS^-1. Если же матрица S окажется неквадратной, то матрицы А не приводится к диагональному виду и, следовательно, не имеет канонического разложения.

Для построения ФСР находят общее решение данной однородной системы уравнений: берут любой, отличный от нуля, определитель порядка, равного числу свободных неизвестных в системе; элементы i-й строки (столбца) этого определителя принимают соответственно за значения свободных неизвестных и находят из общего решения значения остальных (главных) неизвестных. Так поступают для всех строк (столбцов) выбранного определителя. Полученные при этом частные решения составляют ФСР рассматриваемой однородной системы уравнений. Свободным неизвестным можно придавать значения из строк (столбцов) выбранного определителя в самой системе уравнений и находить соответствующие значения главных неизвестных из системы.

Из этого правила вытекает, что построение ФСР однородных системы линейных уравнений неоднозначно. Поэтому будет неоднозначным и построение матрицы S для соотношений S^-1АS=Λ и А=SΛS^-1.
Пример 1. Матрица линейного преобразования в некотором фиксированном базисе имеет вид . Найти собственные числа, собственные векторы преобразования и (если это возможно) базис, в котором матрица имеет диагональный вид.

Решение. Характеристический многочлен преобразования имеет вид

Так как , то собственные значения таковы: .

Составим систему уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих корням :

Найдем собственные векторы для :

Если , – первое фундаментальное решение и – есть собственный вектор для .

Если , – второе фундаментальное решение и – есть собственный вектор для .

Легко показать, что векторов недостаточно для конструирования квадратной невырожденной матрицы 3-го порядка. Поэтому матрица не приводится к диагональному виду, вследствие чего не имеет канонического разложения.

Пример 2. Выяснить возможность приведения действительной матрицы А к диагональному виду.

Решение. Характеристический многочлен имеет вид =(прибавим (1)-й столбец ко (2)-му столбцу)==(умножим (2)-ю строку на (-1) и прибавим к (1)-й строке)==(2–λ)²(1–λ).

Корнями характеристического многочлена матрицы А являются числа , λ₃=1. Все они действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы А.

Составим систему уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих корням :

Эта система имеет общее решение Х=, в котором два свободных неизвестных. Поэтому возьмём, например, определитель . Полагая в общем решении сначала , , найдём . Затем, положим , , найдём , которые составляют ФСР рассматриваемой однородной системы уравнений: Х₁=, Х₂=.

Составим систему уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих корням :

Эта система имеет общее решение Х₃=, в котором одно свободное неизвестное. Поэтому ФСР состоит из одного решения, например, Х₃=.

Из решений Х₁, Х₂ и Х₃, как из столбцов, составляется невырожденная квадратная матрица S=.

Поэтому матрица А приводится к диагональному виду S ¹АS=Λ = и имеет каноническое разложение А=SΛS^-1=.