Главная
страница 1

Решения примерного варианта задач непрерывного теста


(А.Шаповалов, О.Ланин)
Внимание. Участникам предлагались примерно те же задачи, но каждому со своим набором числовых данных. Соответственно, и ответы у каждого свои, с нижеприведенными, как правило, не совпадающие. Правильные ответы для своих условий и свой результат участник может увидеть, щелкнув на «Ваши результаты» на своей персональной странице.
1. (1 балл)  В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Ответ. 4

Решение. Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. 4 ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.
2. (1 балл)  Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?

Ответ. 5

Решение. Пусть N= – такое число. Тогда N–19 тоже кратно 19. Но
N–19=. Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число делится на 19. А таких всего пять: 19, 39, 57, 76 и 95. Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.
. (2 балла)  У даты 12.04.1961 (то есть 12 апреля 1961 года) сумма цифр равна 24. Найдите ближайшую дату после 01.01.2008, у которой сумма цифр равна 35. (Дату укажите в числовом формате «ДД.ММ.ГГГГ», без слов).

Ответ. 29.09.2049

Решение. Наибольшая сумма цифр числа равна 11 для 29-го числа. Наибольшая сумма цифр месяца равна 9 для сентября, то есть для 09. Значит, наибольшая сумма цифр в текущем году будет у даты 29.09.2008. Она равна 30, что меньше 35. Следовательно, надо менять и год. Последняя цифра года не более 9, и если мы сохраняем первые две цифры, то придется цифру десятилетий увеличить до 4.
. (2 балла)  У даты 12.04.1961 (то есть 12 апреля 1961 года) сумма цифр равна 24. Найдите ближайшую дату после 01.01.2008, у которой сумма цифр равна 7. (Дату укажите в числовом формате «ДД.ММ.ГГГГ», без слов).

Ответ. 03.01.2010

Решение. Для 2008 года сумма цифр года уже больше 24, поэтому год придется изменить. Ближайший год в будущем с меньшей суммой цифр – ­2010-й. Соответственно, ближайшая подходящая дата 03.01.2010.
4. (3 балла)  Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Ответ. 55

Решение. Разложим каждое из чисел на простые множители. Произведение должно быть точным квадратом, то есть, вычеркивая числа, мы обязаны обеспечить, чтобы каждый простой множитель входил в итоговое произведение в четной степени. Поэтому для каждого числа достаточно рассмотреть только те простые сомножители, которые входят в его разложение в нечетной степени.

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

2




25

11

3

13

27

35




17

Из таблицы видно, что в итоговое произведение всех десяти чисел в нечетной степени входят множители 2, 7, 11, 13 и 17. Значит, мы обязаны вычеркнуть сомножители 11, 13 и 17. А вот чтобы «убить» лишние простые множители 2 и 7, хватит одного вычеркнутого сомножителя 14. Итого сумма вычеркнутых чисел равна 11+13+14+17=55.
5. (3 балла)  На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — равна 33. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?
Ответ. 8

Решение. Общая сумма чисел на всех гранях равна 6+7+8+9+10+11=51. При первом броске сумма на двух противоположных гранях (верхней и нижней) равна 51–36=15, при втором – 51–33=18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51–15–18=18. Сумму 18 можно получить двумя способами: 11+7 или 10+8. Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а 10 – напротив 8. Тогда на оставшейся паре противоположных граней стоят 9 против 6.
6. (3 балла)  В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Ответ. 14

Решение. Сведем результаты в таблицу, где строки соответствуют людям, а столбцы – вопросам. Будем за правильный ответ давать 1, а за неправильный 0 очков. Посчитаем сумму очков в таблице двумя способами. Сначала просуммируем результаты по столбцам. В каждом столбце ровно 4 правильных ответа, поэтому получим 4число вопросов. Сумма должна быть кратна 4. Теперь просуммируем результаты по строкам. Поскольку Петя набрал 10 очков, Вася – 13, а остальные трое – от 11 до 12, то сумма лежит в пределах от 10+13+311=56 до 10+13+312=59. Из этих чисел только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 56/4=14.
7. (5 баллов)  Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин., Вася — за 11 мин., а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Ответ. 18

Решение. Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42–18=24, он затратит 183+249=270 минут. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 243+1811=270 минут – то же самое время. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).

Замечание. Конечно, ответ 18 угадывать не надо, достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение x3+(42–x)9=(42–x)3+11.
8. (5 баллов)  На каждую клетку шахматной доски положили по несколько монет так, чтобы суммы на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличались на 1 рубль. Известно также, что на одной из клеток лежит 6 руб., а на другой — 20 руб. Найдите наибольшую возможную сумму монет на двух главных диагоналях. (В ответе укажите число без слова руб.)

Ответ. 208

Решение. Назовем хромой ладью, умеющую ходить только на соседние по стороне клетки. Назовем расстоянием между клетками наименьшее число ходов хромой ладьи от одной клетки до другой. Наибольшее из расстояний равно 14 – между парами угловых клеток одного цвета. Запишем в каждую клетку число лежащих на ней рублей. Если расстояние между клетками равно 1, то и разность чисел на них равна 1. Если расстояние между клетками равно 2, то разность чисел на них равна 0 или 2. В общем случае, если расстояние между клетками равно d, то и разность чисел на них не больше d. Для имеющихся у нас клеток с числами 6 и 20 разность равна 14, следовательно, расстояние между ними составляет не менее 14. Такое возможно только в случае, когда эти клетки – противоположные угловые. Попросим хромую ладью пройти любым кратчайшим путем с


6

7

8

9

10

11

12

13

7

8

9

10

11

12

13

14

8

9

10

11

12

13

14

15

9

10

11

12

13

14

15

16

10

11

12

13

14

15

16

17

11

12

13

14

15

16

17

18

12

13

14

15

16

17

18

19

13

14

15

16

17

18

19

20
клетки 6 на клетку 20. На каждом ходе число должно увеличиваться на 1, иначе разность 14 не будет достигнута. Таким образом, числа на всем пути определены однозначно. Но кратчайший путь из угла в пртивоположный угол можно провести через любую клетку доски! Значит, и числа на всей доске определены однозначно (см. рисунок). Отсюда искомый ответ 6+8+10+12+14+16+18+20+813=208.

Замечание. Вопрос о наибольшей возможной сумме был поставлен для того, чтобы не подсказывать однозначность заполнения таблицы. Если знать про однозначность, то пример и ответ получать намного легче.
9. (5 баллов)  Высота AH и биссектриса BL остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что BAH=18°, а BCA=54°. Найдите ACM (в ответе укажите число градусов без знака °).

Ответ. 208

Решение.ABH – прямоугольный, поэтому ABH=90–BAH =72. BL – биссектриса, поэтому CBL=1/2ABH=36. BLC=180–CBL–BCA =90. Поскольку в треугольнике ABC отрезок BL – биссектриса и высота одновременно, то BL – серединный перепендикуляр к отрезку AC. Значит, MC=MA и ACM=CAM=90ACH=36.

10. (7 баллов)  За одну операцию разрешается изменить длину одной из сторон треугольника, сохранив длины двух других, при этом снова должен получиться треугольник. Барон Мюнхгаузен утверждает, что смог за n операций превратить некий треугольник периметра 21 в треугольник периметра 1. При каком наименьшем значении n его слова могут быть правдой?



Ответ. 7

Решение. Ответ, очевидно, не меняется, если превращать треугольник периметра 1 в треугольник периметра 21.

Для рассуждений нам понадобятся числа Фибоначчи f1=1, f2=1, f3=2, f4=3, f5=5, f6=8, f7=13, f8=21, f9=34, f10=55, ... (вообще, fi=fi–1+fi–2 при i>2).



Лемма 1. Пусть длины сторон треугольника соответственно меньше трех последовательных чисел Фибоначчи, умноженных на один и тот же коэффициент k: kfi, kfi+1, kfi+2. Проделаем с этим треугольником одну операцию. Тогда длины сторон полученного треугольника, взятые в порядке возрастания, будут соответственно меньше чисел kfi+1, kfi+2, kfi+3.
Докажем лемму 1. Сумма двух сохранившихся сторон меньше kfi+1+kfi+2, тем более новая сторона по неравенству треугольника должна быть меньше kfi+1+kfi+2= kfi+3.

Лемма 2. Проделаем с треугольником периметра 1 две операции. Тогда стороны полученного треугольника соответственно меньше 1/2, 1, 3/2.

Докажем лемму 2. Пусть стороны были abc, a+b+c=1. Поскольку a+b>c, то c<1/2. После двух операций стороны, очевидно, не превосходят соответственно c, b+c, b+2c. Далее используем, что bc<1/2.

Следствие. За n операций из треугольника периметра 1 получается треугольник периметра меньше fn+2.

Доказательство следствия. При n=1 периметр меньше 2(b+c)<2=f3. При n2 после двух операций стороны меньше 1/2f2, 1/2f3, 1/2f4, значит, после еще n–2 операций меньше 1/2fn, 1/2fn+1, 1/2fn+2, и периметр меньше 1/2(fn+f n+1+fn+2)= 1/2(fn+2+fn+2)= fn+2.

Вернемся к задаче. В нашем случае следствие сразу дает нужную оценку: поскольку f8=21, то за 6 операций нам такого периметра не достичь. А 7 операций достаточно: мы начинаем с треугольника со сторонами 0+3e; 1/2–2e, 1/2e, где e=0,001 (нам удобнее писать длины в виде сумм и разностей). Пусть после i-й операции стороны будут равны последовательным членам gi, gi+1, gi+2 вот такого ряда:


1/2e, 1/2–2e, 2/2–4e, 3/2–8e, 5/2–16e, 8/2–32e, 13/2–64e, 21/2–128e, 8/2+64e+128e (неравенства треугольника выполнены, поскольку очередная половинка числа Фибоначчи уменьшается на величину, которая превосходит сумму уменьшений двух предыдущих сторон).

Замечание. Общая задача превращения треугольника периметра P в треугольник периметра Q (где Q
), равносильна задаче о превращении треугольника периметра 1 в треугольник периметра P/Q. Ответ: n операций, где fn+1P/Q<fn+2. Оценка следует из следствия, а пример строится так: выберем положительное e<fn/2n+3, и положим gi=fi/2–2ie (i=1,2,…, n+1), gn+2=P/Qgngn+1.


Смотрите также:
Решения примерного варианта задач непрерывного теста
93.54kb.
1 стр.
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Практикум по решению задач на Эвм»
734.83kb.
9 стр.
1 этап. Алгебраический способ решения задач
47.9kb.
1 стр.
Учебное пособие «Методика решения задач по химии»
882.54kb.
6 стр.
Сборник задач по аналитической химии титриметрические и гравиметрические методы анализа. Для студентов химико технологических
454.64kb.
4 стр.
Информационная и телекоммуникационная среда для решения задач вычислительной биологии
54.06kb.
1 стр.
В. К. Ланчиков русский н как
721.76kb.
4 стр.
Инструкция по выполнению работы На выполнение теста по Информатике и икт отводится 90 минут
227.7kb.
3 стр.
Северный морской путь и основные задачи его решения
175.05kb.
1 стр.
Решение задач по физике - творческий процесс. Фактически это первая самостоятельная научная работа студента. Она включает знакомство с условиями задачи, анализ и сам процесс решения задачи, который, как любое творчество, всегда загадочен
1812.98kb.
8 стр.
Решение задач на смекалку
366.91kb.
1 стр.
I. Актуальность проекта
113.36kb.
1 стр.