ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2008. № 1 (21)

Электротехника

УДК 621.311.031:621.331.153
И.Ю. Алексеева, В.П. Степанов, А.С. Ведерников
МЕТОД ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ ЛИНИИ ТРЕНДА

ВРЕМЕННОГО РЯДА В СОЧЕТАНИИ С МЕТОДОМ ИНДЕКСОВ СЕЗОННОСТИ

ПРИ КРАТКОСРОЧНОМ ПРОГНОЗИРОВАНИИ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ
Проведен анализ бытового электропотребления населением г. Чапаевска Самарской губернии с учетом сезонных колебаний по методу экспоненциального сглаживания линии тренда в сочетании с методом индексов сезонности за период 2004-2006 гг. на основе формы статистической отчетности №46ЭС «Полезный отпуск электрической и тепловой энергии» энергосистемы ОАО «Самараэнерго».
Современные методики построения прогнозных моделей базируются на статистическом анализе и моделировании временных рядов [1]. Многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Временной ряд, подчиняющийся сезонным колебаниям, будем считать нестационарным случайным процессом. Нестационарный случайный процесс можно представить в виде моделей двух типов [1]:

• 
  модель с мультипликативными коэффициентами сезонности;
  
• 
  модель с аддитивными коэффициентами сезонности.
  

Мультипликативная модель имеет вид

где x_t – функция, описывающая нестационарный случайный процесс, – детерминированная функция (тренд), a_1,t – величина, характеризующая тенденцию развития процесса; f_t, f_t-1,…, f_t-l+1 – коэффициенты сезонности; l – количество фаз в полном сезонном цикле (при месячных данных l=12, при квартальных – l=4); ε_t – неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Аддитивная модель имеет вид

где g_t, g_t-1,…, g_t-l+1 – аддитивные коэффициенты сезонности.

Если сезонная модель прогнозирования, структура которой не содержит элементов для отражения какой-либо тенденции роста, применяется для прогнозирования ряда, характеризующегося ярко выраженной тенденцией, то коэффициенты f_t (g_t) перестают быть простыми коэффициентами сезонности и вбирают в себя в определенной мере эффект роста. Если ряд имеет тенденцию, то в модель необходимо ввести специфический член, учитывающий эту тенденцию.

Таким образом, используется множество комбинаций различных типов тенденций и циклических явлений аддитивного и мультипликативного типа, представленных в виде девяти возможных моделей, которые могут быть выражены одной формулой:

,

где a_1,t – текущий уровень ряда после элиминирования сезонных колебаний; a₁ – параметр сглаживания, 0 < a₁ < 1; d₁, d₂ – значения, которые характеризуют ту или иную модель.

Девять вышеуказанных моделей составляют три группы по три варианта в каждой. Первую группу образуют модели:

• 
  без тренда;
  
• 
  с аддитивным линейным трендом;
  
• 
  с мультипликативным (экспоненциальным) трендом.
  

Вторую группу составляют три модели из первой группы с наложенным на них аддитивным сезонным эффектом. Третью группу – три модели из первой группы с наложенным на них мультипликативным сезонным эффектом.

В электроэнергетике наиболее широко применяется аддитивная модель для прогнозирования суточных, недельных графиков электрической нагрузки; мультипликативные модели имеют ограниченное применение [1].

Прогнозируемый полезный отпуск электроэнергии населению определяется на предстоящий год в разбивке на кварталы или месяцы. Для примера в табл. 1 представлены данные (в о.е.) о полезном отпуске электроэнергии населению г. Чапаевска Самарской губернии на основе формы статистической отчетности №46ЭС «Полезный отпуск электрической и тепловой энергии» энергосистемы ОАО «Самараэнерго». Данные приведены в о.е. [2], так как фактические показатели электропотребления по форме отчетности №46ЭС представляют собой коммерческую тайну и являются недоступными. Соответствующий график показан на рисунке. Временной ряд, представленный на рис. 1, подчиняется сезонным колебаниям. Полезный отпуск увеличивается в зимние месяцы и уменьшается в летние. Для прогнозирования электропотребления в работе использована модель экспоненциального сглаживания линии тренда временного ряда, сезонные значения вычисляются при этом методом индексов сезонности [1], [2].

Аппроксимация фактических значений электропотребления линией тренда. С целью отражения общей тенденции изменения требуемого параметра его фактические значения аппроксимируются при помощи линии тренда. Для аппроксимации фактических значений временного ряда, подверженного сезонным колебаниям, эффективной оказывается линия тренда, пересекающая все сезонные колебания, сглаживая их. Эта линия тренда может быть получена последовательным осреднением всех р точек, где р – число временных интервалов (сезонов), методом скользящей средней [2].

Пусть зафиксировано N фактических значений электропотребления W_i для моментов времени i=0,1,2,…, N-1, для удобства изложения метода начальная точка исходных данных обозначена как нуль. В этом случае начальный момент времени t_нач, для которого возможно вычисление значения линии тренда методом скользящей средней, определяется по выражению

. (1)

Момент времени для конечной точки находится по формуле

. (2)

Скользящие средние могут быть простыми и взвешенными [2].

Т а б л и ц а 1    

Данные по месяцам о полезном отпуске электроэнергии населению г. Чапаевска

за период 2004 – 2006 гг., в о.е.

Месяц	2004 г.	2005 г.	2006 г.
Январь	3,03	2,70	2,86
Февраль	2,43	3,00	3,36
Март	2,40	2,86	3,22
Апрель	2,15	2,68	2,82
Май	2,04	2,43	2,75
Июнь	2,00	2,34	2,43
Июль	1,04	2,41	2,69
Август	2,07	2,47	2,89
Сентябрь	2,20	2,62	3,12
Октябрь	2,22	2,68	3,70
Ноябрь	2,48	2,86	3,74
Декабрь	3,18	3,70	4,80

Если число p нечетное, то пользуются простой скользящей средней _py_t, которая вычисляется простым последовательным осреднением каждых p точек [3]:

, (3)

где t – момент времени, для которого вычисляется значение скользящей средней, ; W_i – фактические значения электропотребления, зафиксированные в момент времени i (i=0…N-1).

Простую скользящую среднюю можно использовать и при четном количестве временных интервалов p. Однако значения скользящей средней будут вычислены в промежуточные моменты времени. Например, для p=12 и N=36 (см. табл. 1 – помесячные данные за 3 года) в соответствии с формулами (2) и (3) t_нач=5,5, t_кон=29,5. Поэтому, чтобы рассчитать скользящую среднюю при значениях абсцисс, равных абсциссам фактических значений i, применяют так называемую взвешенную скользящую среднюю _p1y_t с числом временных интервалов p₁ [3]:

, (4)

где p₁=p+1; v_j – члены ряда весовых коэффициентов (множителей) _p1V_j = (v₁,v₂,…,v_p).

Первая осредняемая на данном шаге фактическая точка умножается на весовой коэффициент, равный v₁, последняя – на v_p.

Например, для случая помесячных данных за 3 года (см. табл. 1) следует вычислять взвешенную скользящую среднюю с числом временных интервалов p₁=13 и рядом весовых коэффициентов ₁₃V_j=(1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1). Результаты сводим в табл. 2. Тогда t_нач=6; t_кон=29 (см. рис. 1, точки в интервале ).

Вычисление индексов сезонности. Предварительно для каждого из сезонов (кварталов или месяцев) общим количеством s в течение временного ряда от t_нач до t_кон вычисляется I_k –отношение фактического значения W_t,k, отмеченного в данный момент времени t и соответствующего сезону k, к значению тренда y_t, полученного для того же момента времени методом скользящей средней:

, (5)

где t=t_нач…t_кон; k=1…s.

Индекс (коэффициент) сезонности J_k для сезона k вычисляется теперь как усредненное значение полученных для него по формуле (5) отношений для ряда лет n:

, (6)

где (I_k )_i – отношение, полученное для данного сезона k за ряд лет i при помощи формулы (5); k=1…s.

Результаты сведены в табл. 2.

Удаление сезонных колебаний. В диапазоне от t_нач до t_кон значения линии тренда получаются методом скользящей средней. Крайние же ее точки могут быть определены методом удаления сезонных колебаний, при котором фактические значения делятся на индексы сезонности:

, (7)

где y_t – значения тренда, получаемые путем удаления сезонных колебаний; W_t,k – фактические значения электропотребления, зафиксированные в момент времени t и соответствующие сезону k; J_k – индекс сезонности для сезона k; .

Результаты сведены в табл. 2. Вид части линии тренда, полученной методом удаления сезонных колебаний, представлен на рис. 1, , .

Прогнозирование линии тренда. Прогнозирование линии тренда выполняется методом экспоненциального сглаживания [2]. Сущность метода состоит в том, что линия тренда временного ряда сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой весовые коэффициенты подчиняются экспоненциальному закону, т.е. эта средняя может служить для

Временной ряд полезного отпуска электроэнергии населению г. Чапаевска за период 2004-2006 гг.

оценки и текущей коррекции математического ожидания процесса. Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весовыми коэффициентами характеризует значение процесса на конце интервала сглаживания, являясь средней характеристикой последних уровней ряда. Именно это свойство используется при прогнозировании. Для проведения сглаживания необходимо задать величину параметра сглаживания , определяющего скорость убывания весовых коэффициентов значений линии тренда y_t. Параметр может принимать значения 0<<1. Если 1, то при прогнозе учитывается в основном влияние лишь последних наблюдений, и, наоборот, при 0 весовые коэффициенты, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, и при прогнозе в значительной степени учитываются все или почти все прошлые наблюдения.

Пусть имеется линия тренда временного ряда y_t (t=1,2,…,N), которая описывается полиномом степени p:

, (8)

где ε_t – случайная величина с нулевым средним и дисперсией D[ε_t].

Требуется составить прогноз на моменты времени (N+l), (l=1,2,…,L).

Основной целью экспоненциального сглаживания при этом является вычисление

рекуррентных поправок к оценкам уравнения вида (8).

Для линейной модели оценки коэффициентов рассчитываются

следующим образом:

;

,

где – экспоненциальные средние k-того порядка в точке t,

;

. (9)

Величина называется начальным условием и обозначается .

Начальные условия для линейной модели определяются в соответствии с выражениями

;

.

Прогноз рассчитывается по формуле

,

а ошибка прогноза составляет величину

,

где .

Ниже приведены формулы для определения оценок коэффициентов, начальных условий, прогнозных значений и точности прогноза для квадратичной модели :

;

,

Т а б л и ц а 2

Результаты расчетов

Прогнозный месяц Прогнозный месяц	Значения линии тренда yt, о.е.	Фактические значения электропотребления, о.е.	Индекс сезонности Jk
Январь 2004	2,91	3,03	1,04
Февраль 2004	2,09	2,43	1,16
Март 2004	2,18	2,40	1,10
Апрель 2004	2,19	2,15	0,98
Май 2004	2,27	2,04	0,90
Июнь 2004	2,47	2,00	-
Июль 2004	2,26	1,04	-
Август 2004	2,27	2,07	-
Сентябрь 2004	2,31	2,20	-
Октябрь 2004	2,35	2,22	-
Ноябрь 2004	2,39	2,48	-
Декабрь 2004	2,42	3,18	-
Январь 2005	2,49	2,70	-
Февраль 2005	2,56	3,00	-
Март 2005	2,60	2,86	-
Апрель 2005	2,63	2,68	-
Май 2005	2,67	2,43	-
Июнь 2005	2,71	2,34	-
Июль 2005	2,73	2,41	-
Август 2005	2,76	2,47	-
Сентябрь 2005	2,79	2,62	-
Октябрь 2005	2,81	2,68	-
Ноябрь 2005	2,83	2,86	-
Декабрь 2005	2,84	3,70	-
Январь 2006	2,86	2,86	-
Февраль 2006	2,89	3,36	-
Март 2006	2,93	3,22	-
Апрель 2006	2,99	2,82	-
Май 2006	3,07	2,75	-
Июнь 2006	3,15	2,43	0,81
Июль 2006	4,01	2,69	0,67
Август 2006	3,21	2,89	0,90
Сентябрь 2006	3,30	3,12	0,94
Октябрь 2006	3,91	3,70	0,94
Ноябрь 2006	3,67	3,74	1,02
Декабрь 2006	3,69	4,80	1,30

;

;

;

;

;

;

где .

Экспоненциальные средние при этом определяются в соответствии с выражением (9).