Главная
страница 1
Китовская муниципальная средняя общеобразовательная школа
Урок информатики и ИКТ

в профильной

информационно-технологической группе

11 класса

Тема урока:

«Методы приближенных вычислений»

Учитель информатики и ИКТ

Кузнецова Л.А.


декабрь 2009 г.



Цели урока:

Образовательная – сформировать у учащихся представление о численных методах (методах приближенных вычислений); рассмотреть различные способы вычисления числа Пи; продолжить выработку практических навыков компьютерного моделирования; преодоление предметной разобщенности, интеграции знаний.

Развивающая – развивать умение учащихся оперировать понятиями изучаемой среды программирования; развитие и профессионализация навыков работы с компьютером; тренировка учащихся в написании тестов.

Воспитательная – воспитание навыков самоорганизации, самоконтроля; способствовать развитию познавательного интереса к предмету; содействие профессиональной ориентации учащихся



Тип урока: комбинированный
Технология: проектно-исследовательская деятельность.
Оборудование:

интерактивный комплекс

– плакат «Этапы математического моделирования»;

– интерактивная презентация «Из истории приближенных вычислений»;

– тест, карточки-шаблоны к тесту;

– раздаточный материал для практической работы;


Программное обеспечение: среда программирования Pascal 7.0
Ход урока:

  1. Орг.момент. Постановка целей урока. (3 мин)

  2. Актуализация знаний по программированию - тестирование на бланках (уровень А и В). Краткий инструктаж, выполнение теста. (10 мин)

Вопросы:

А1. Какой алгоритмической конструкции не существует:

  1. ветвление

  1. следование

  1. подпрограмма

  1. цикл




А2. Выберите утверждение, соответствующее циклу for i:=5 to 15 do  writeln(i);

  1. цикл с постусловием, повторений - 10

  1. цикл с параметром, повторений - 11

  1. цикл «для каждого», повторений - 10

  1. цикл с предусловием, повторений – 11




А3. Каков результат выполнения цикла

i:=0;
repeat


 i:=i-5;
until i>=25;

  1. зацикливание

  1. 0

  1. 5

  1. не выполнится ни разу




А4. По значениям элементов массива А[1..4] = 3, 1, 4, 3 определите значение выражения А[ А[2] +2] - А[ 2*А[1] -3 ]

  1. 2

  1. 0

  1. 1

  1. 3




А5. Стандартная операция, позволяющая вычислить количество элементов на заданном интервале (i – очередной элемент), задается формулой:

  1. X:=X+i

  1. X:=X+1

  1. X:=X*i

  1. X:=X*X




А6. На печать в результате выполнения фрагмента алгоритма

while n<>0 do


begin write (7+mod(n,10)); n:=div(n,10) end;

было выведено число 8121110. Значение переменной n перед выполнением этого фрагмента алгоритма было равно



  1. 3451

  1. 74144

  1. 341440

  1. 7888981




В1. Какой тип следует выбрать для величины, содержащей значение роста человека (в метрах)?

В2. Какой раздел блока описаний служит для описания меток?




  1. Изучение нового материала.
    «Знакомство с методами приближенных вычислений»

1) Повторим стандартные функции, используемые в языке Паскаль.

1 ученик записывает соответствие между стандартными функциями и их математическими записями.

Как правильно записать математическое выражение на языке Паскаль?



Ученик предлагает способ записи выражения.

Проверка правильности записи.

Уверенно оперируя стандартными функциями, следует понимать, что таблицы Брадиса в компьютере не хранятся. Каким же образом вычисляется в компьютере, к примеру, синус любого угла?

В математике известно, что многие числа и функции могут быть записаны в виде числовых и функциональных рядов (бесконечных сумм элементов), с помощью которых их приближенное значение можно вычислить с заданной степенью точности. Еще И. Ньютоном и Г.В. Лейбницем были выведены формулы представления основных тригонометрических функций, натурального логарифма, а также числа Пи в виде суммы бесконечного ряда.

Сегодня наш разговор пойдет об удивительном числе ПИ, которое тревожит умы великих людей многие тысячелетия, и о способах его вычисления.
Сообщение из истории числа ПИ.
Древние египтяне вычислили приблизительное значение "пи" как 256, деленное на 81, открытие обязано своим происхождением древней настольной игре под названием манкала. И вот уже на протяжении 4 тысяч лет вычисление числа "пи" является лейтмотивом всей математической науки.

Архимед пришел к своему известному приблизительному результату - "пи" равно 22 разделить на 7, делая расчеты с помощью 96-гранника вместо круга. Но, к сожалению, римский солдат прервал исследования вместе с его жизнью.

Поговаривают, сам Исаак Ньютон вычислял "пи" до 15-го знака после запятой, коротая время. Сегодня же компьютер может с легкостью подсчитать его до нескольких миллиардов значений, что, вероятно, подвигло Кейт Буш написать песню о числе "пи", в которой оно вычисляется аж до 137 знака.

Широко известна формула расчета "пи", основанная на сложении и вычитании дробей с нечетными знаменателями. Она называется рядом Лейбница, по имени немецкого математика XVIII века Готфрида Лейбница. Он открыл ее, используя новые мощные методы, прославившие его и Исаака Ньютона. Удивительно, что математики из Кералы (Южная Индия) открыли эту формулу несколькими веками ранее. И на самом деле она должна называться формулой Мадхавы в честь ученого, впервые на нее натолкнувшегося.

Для вычисления числа Пи можно использовать вполне простые «бытовые» методы:

- простейшие измерения длины окружности с помощью нити;

- взвешивания картонных фигур…

и несложные математические вычисления.



Объясняются методы простого вычисления числа Пи.
Более трудоемки, но и более точны численные методы.

Численные методы — это методы, сводящие решение любой математической задачи к арифметическим вычислениям.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов.


Демонстрируются формулы представления основных тригонометрических функций и числа  в виде суммы бесконечного ряда:




Таким образом, методов вычисления от древности до наших дней накопилось достаточное количество. Наиболее точные и эффективные из них трудоемки, поэтому требуют использования компьютера. Например,

  1. метод прямоугольников (или криволинейных трапеций)

  2. метод Монте-Карло

Познакомимся с этими методами.

Рассказ о методах в сопровождении презентации.

1) Пусть А (a; 0), В (b; 0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками x1, x2, ..., xn-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)= . Из рисунка ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле



S = ( b – a ) (( f(x0) + f(x1) + … + f(xn-1)) / n.

В нашем случае b=1, a=-1. Тогда = 2 S.

Значения будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер.

2) Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда

= 4 Nкр / Nкв.

Задача: Вычислить приближенное значение числа различными методами. Сравнить точность методов.



На рабочих местах:

- карточки-шаблоны для заполнения экспериментальными данными;

- готовые программы (метод Монте-Карло, метод прямоугольников) для изучения и исследования точности вычисления числа Пи;

- карточка с проблемным вопросом.
Учащиеся выполняют работу, делают выводы о точности вычислений, скорости работы программы.
Предлагается заполнить слайд наиболее показательными результатами вычислений.

Формулируются выводы.


Домашнее задание:

- разработать алгоритм «Метод разложения в ряд»;

- (дополнительное задание) Число пи и происшествие на берегу океана.

У бензовоза, ехавшего вдоль берега океана, заглох мотор. Если через 12 минут шоферу не удастся уехать, поднимающийся прилив зальет берег, опрокинет машину и утащит ее в пучину моря. Вместе с бензовозом погибнет 10 тонн бензина, будет загрязнен океан. На помощь приходят рабочие с грузовика, на котором оказалось 50 пустых бочек. Диаметр основания каждой бочки – 0,5 м, высота – 1 м. Бензин можно заливать в бочки со скоростью 900 л/мин через шланг. Если опорожнить цистерну, еще один грузовик сможет отбуксировать бензовоз в безопасное место. Хватит ли 50 бочек, чтобы перелить весь бензин? Успеют ли рабочие сделать это?

Мнемонические правила запоминания числа Пи:

- зачитывается стихотворение;

комментируется фраза «Это я знаю и точно использую на уроках»
Гордый Рим трубил победу

Над твердыней Сиракуз;

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь.

Надо нынче нам заняться,

Оказать старинке честь,

Чтобы нам не ошибиться,

Чтоб окружность верно счесть,

Надо только постараться

И запомнить всё как есть;

Три - четырнадцать - пятнадцать -

Девяносто два и шесть!



С. Бобров «Про число ».


Смотрите также:
Урок информатики и икт в профильной информационно-технологической группе 11 класса Тема урока : «Методы приближенных вычислений» Учитель информатики и икт кузнецова Л. А. декабрь 2009 г
73.85kb.
1 стр.
Рабочая программа и тематическое планирование информатика и икт 4 класс 2013 2014 учебный год
271.2kb.
1 стр.
Урок информатики в 10-ом классе Аппаратные и программные средства икт тип урока: урок-зачёт. Задачи урока: Образовательная
58.35kb.
1 стр.
Урок ознакомления с новым материалом Вид урока: Учебно-практическое занятие Технология: Информационно-коммуникативная
117.21kb.
1 стр.
Информационная модель «Башни Московского Кремля в задачах»
70.03kb.
1 стр.
Перспективный план развития кабинета информатики
12.32kb.
1 стр.
Разработка урока по информатике и икт в 10 классе Тема «Решение задач» Симонова Татьяна Вячеславовна учитель информатики моу алексеевская сош
107.35kb.
1 стр.
Разработка урока информатики и икт в 8 классе по теме: «Кодирование информации»
46.43kb.
1 стр.
Новгородова Евгения Сергеевна, учитель второй квалификационной категории с. Марково 2012
612.54kb.
4 стр.
Форма урока: урок-лекция с использованием икт тип урока: Урок изучения нового в форме лекции Тема урока : достопримечательности Великобритании Оснащение: персональный компьютер
64.49kb.
1 стр.
Конспект урока по музыке для 1 класса с использованием икт и здоровьесберегающей технологии Тема: «Музыка утра» Тип урока : урок ознакомления с новым материалом
44.27kb.
1 стр.
Информатика в начальной школе Информатика и икт
87.23kb.
1 стр.