Главная
страница 1
Яремко Н.Н. Новый алгоритм вычисления логарифма матрицы и его реализация в Matlab. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей XII Междунар. научно-техн. конф. – Пенза: ПДЗ, 2012. – С. 56 58.

Новый алгоритм вычисления логарифма матрицы
и его реализация в MATLAB

Н.Н. Яремко

Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия, yaremki@yandex.ru

Дается интегральное определение логарифма, позволяющее вычислять логарифмы от матриц символьно. Для матриц малой размерности данное определение реализовано в системе компьютерной математики Matlab.



Yaremko N.N. New algorithm for computing the matrix logarithm and its implementation in MatLab. The integral definition of the logarithm, which allows calculating the logarithms of matrices symbolically, is given. For matrices of small dimension this definition is implemented in the computer mathematics Matlab.
Одним из важных достоинств пакета MATLAB является ориентация на выполнение матричных вычислений. Весьма представителен в MATLAB набор матричных функций.

Для вычислений функции от матрицы используют оператор funm(X, @function), который возвращает любую функцию от квадратной матрицы X, если правильно ввести имя, составленное из латинских букв. Команды funm(X ,@exp), funm(X,@sqrt), funm(X.@log) Hexpm(X),sqrtm(x),logm(X) вычисляют одинаковые функции, но используют разные алгоритмы. Однако, предпочтительнее использовать ехрт(Х), sqrtm(x), logm(X), например, ехрт(Х) – возвращает е х от матрицы X.

Пример 1. Дана матрица , найти еS .

Решение производим в MATLAB. Зададим матрицу S=[l.0.3:1.3.1:4.0.0]. Функция expm(S) возвращает значение экспоненты от матрицы: a = expm(S). Таким образом,



.

Функция logm(X) – возвращает логарифм матрицы. Результат получается комплексным, если X имеет отрицательные собственные значения.

Пример 2. Дана матрица , найти ln(a).

Решение производим в MATLAB, применяя функцию logm(a). Получаем:



.

Для вычислений MATLAB использует различные численные алгоритмы. Пакет ToolBox Symbolic Math стандартным образом применить не возможно.

В предлагаемой статье приводится интегральное определение логарифма, позволяющее вычислять логарифмы от матриц символьно. Будем считать, что все собственные числа матрицы X размера nxn различны и положительны. Определим натуральный логарифм матрицы E+X по формуле

(1)

где E – единичная матрица.

Формула (1) получается переносом числового равенства на матричный случай. Пусть – собственные числа матрицы X, тогда имеем равенство

(2)

где – присоединенная матрица к матрице , . Из формул (1) и (2) следует выражение для логарифма матрицы



(3)

Отметим, что на практике формулу (3) использовать не всегда удобно. Бывает выгоднее применить формулу (1).



Пример 3. Пусть дана матрица , найти . Для решения выберем . Согласно (1) получаем







Вычисления в последней формуле определителя и четырех интегралов выполнены в ToolBox Symbolic Math.


Смотрите также:
Решение производим в matlab. Зададим матрицу S=[l 3 1 0]. Функция expm(S) возвращает значение экспоненты от матрицы: a = expm(S). Таким образом
21.38kb.
1 стр.
Функция сегодня — возвращает текущую дату. Функция сегодня
28.45kb.
1 стр.
Арифметические функции Модуль System Function Abs(X)
165.85kb.
1 стр.
Приведение матрицы к диагональному виду. Каноническое разложение матрицы
38.46kb.
1 стр.
Жалоба на нарушение избирательных прав в соответствии с п. 1 ст. 22 Фз «О прокуратуре рф»
59.88kb.
1 стр.
Lu-разложение матрицы
25.9kb.
1 стр.
Общие принципы работы с матрицами в системе matlab лабораторная работа №3
149.49kb.
1 стр.
Решение этой задачи известно, когда f(x) многочлен:, тогда. Определение f(A) в общем случае
184.93kb.
1 стр.
Программа дисциплины "Анализ финансовых данных в среде matlab"
27.03kb.
1 стр.
Posh concept историческая справка Значение posh – прилагательное –
74.81kb.
1 стр.
Доктринальные тексты Махаяны
212.92kb.
1 стр.
Таким образом, родники представляют собой важный компонент природы
46.76kb.
1 стр.