МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ


Цуканова Ольга Анатольевна
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Учебное пособие


Санкт-Петербург

2012
Цуканова О. А. Математические методы моделирования экономических систем: уч. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО, 2012

В настоящем учебном пособии излагаются методы экономико-математического моделирования, которые широко используются в различных областях экономики при принятии управленческих решений. Во всех разделах приведены краткие теоретические сведения, сформулированы актуальные экономические проблемы, ряд задач снабжен решениями.

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» и предназначено для магистров по направлению 230700.68 «Прикладная информатика», 080005 «Бизнес-информатика».

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

© Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2012

© О. А. Цуканова, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Современный специалист при принятии управленческих решений должен хорошо разбираться в экономико-математических методах, уметь их применять на практике при анализе рыночных процессов, внешней и внутренней среды предприятия, уметь конструировать с использованием известных математических методов экономические системы и анализировать динамику составляющих их идентификаторов.

Данное учебное пособие предназначено для студентов ВУЗов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика». Учебное пособие также может быть использовано студентами, аспирантами, преподавателями экономических вузов, менеджерами предприятий.

Целевая направленность – дать общее представление о возможностях использования математических методов для моделирования экономических систем. В соответствии с этим учебное пособие включает в себя рассмотрение следующих аспектов:

• 
  использование вероятностных методов моделирования экономических систем;
  
• 
  применение инструментария статистического моделирования;
  
• 
  использование оптимизационных методов и моделей в управлении экономическими системами;
  
• 
  рассмотрение ряда типовых моделей управления в различных областях экономики.
  

Учебное пособие разработано в компетентностном формате, то есть описывает содержание (знания) через решение актуальных проблем и практических задач. Предусмотрена отработка навыков подготовки и принятия управленческих решений с реализацией типовых задач менеджмента на компьютере с использованием прикладных программ.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1. Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем

1. Элементарные понятия о случайных величинах, событиях и функциях

В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или непоявление в них некоторого события. Такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным. Совокупность условий, в которых рассматривается данное событие, называют комплексом условий, а реализацию этого комплекса условий на практике - испытанием. В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.

Достоверным называется такое событие (U), которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий.

Невозможным называется событие (, которое никогда не наступает при реализации данного комплекса условий.

Случайным называется событие, которое может либо наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить.

Элементарное событие – это один из нескольких возможных, но несовместных исходов того или иного опыта (испытания). Совокупность или множество их составляют пространство элементарных событий.

В общем случае пространство элементарных событий может быть любой природы: конечным и бесконечным, дискретным и непрерывным. Пространство элементарных событий является синонимом достоверного события, так как один из его элементов непременно наступит.

Пустое множество – это множество, не содержащее элементарных событий. Очевидно, что пустое множество является синонимом невозможного события.

При изучении случайных событий в ходе системного анализа и моделирования информационных процессов и систем используется группа событий, между которыми существуют определенные соотношения, позволяющие выражать одни события через другие.

Рассмотрим эти соотношения:

1. 
   Событие А содержится в событии В(А В). Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, непременно происходит и событие В, то говорят, что событие А содержится в событии В или принадлежит событию В;
   
2. 
   Тождественные события (А = В). Если событие А содержится в событии В, а событие В содержится в событии А, то говорят, что события А и В тождественны или равносильны;
   
3. 
   Произведение событий (). Произведением (или пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий. Другими словами, множество С содержит элементы, принадлежащие множествам А и В ();
   
4. 
   Несовместные события (А * В = . События А и В называются несовместными, если их совместное появление при испытании невоз-
   можно;
   
5. 
   Сумма событий () . Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Множество С содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А или В;
   
6. 
   Полная группа событий (. События А и В составляют полную группу событий, если при реализации заданного комплекса условий непременно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма всех таких событий есть событие достоверное;
   
7. 
   Противоположное событие. Два события А и А (читается «не А») называются противоположными, если они составляют полную группу несовместных событий, т.е. удовлетворяют условию .
   

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятных этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n):



Вероятность и частота (события тесно связаны между собой. Зная частоту, вычисленную при достаточно большом числе испытаний, есть все основания считать ее близкой к соответствующей вероятности и полагать, что

Такой способ определения вероятности события Р(А) называется статистическим.

Частота случайного события А находится в интервале [0;1]:

Частота достоверного события равна единице. Частота невозможного события равна нулю.

Свойства вероятностей событий:

1. 
   Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. ;
   

2. 
   Для любого события А вероятность противоположного события Ā равна ;
   
3. 
   Если событие А влечет за собой событие В, т. е. А В, то ;
   
4. 
   Вероятность события А заключена между нулем и единицей, т.е. ;
   
5. 
   Вероятность двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: .
   

Вероятность события определяется при условии реализации некоторой совокупности условий. Если никаких ограничений, кроме упомянутых условий, при вычислении вероятности Р(А) не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Однако в ряде случаев приходится находить вероятности событий при условии, что произошло некоторое событие B, имеющее положительную вероятность. Такие вероятности называются условными и обозначаются Р(А/В).

Событие А называется независимым от другого события В, если вероятность события А не изменяется от того, наступает событие В или нет. В противоположном случае событие А называется зависимым от события В. Следовательно, если события А и В независимые, то Р(А/В) = Р(А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А) = Р(В) * Р{А/В}

Вероятность произведения независимых событий равна:

Р(А * В) = Р(А) * Р(В)

Вероятность произведения n случайных событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, вычисленных при условии, что все предшествующие события произошли.

Правило сложения вероятностей двух событий гласит, что вероятность наступления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Если события несовместны, то правило сложения вероятностей принимает вид:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)



Если несовместные события составляют полную группу, т. е.

А₁ + А₂ + ... + А_п = и А_i * А_j = , i ≠ j, то

.

Случайные события могут быть представлены через случайные величины. Случайной называется такая величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) может принять то или иное значение, причем до испытания неизвестно, какое именно. Если повторять испытания, то результатом каждого будет какое-либо одно значение случайной величины из множества возможных.

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Множество значений дискретной случайной величины конечно или счетно, например: количество отказов автомобилей автопредприятия в течение рабочей смены; число рабочих, пришедших в бухгалтерию завода в течение одного часа получать заработную плату, и т. д.

Множество значений непрерывной случайной величины представляет собой множество всех точек, принадлежащих какому-либо интервалу числовой оси, например: расход топлива на километр пробега; время безотказной работы автомобиля и т. д.

Кроме дискретной и непрерывной случайных величин встречаются случайные величины смешанного типа, для которых наряду с участками непрерывных значений имеются отдельные, изолированные значения.

Закон распределения случайной величины представляет собой соотношение, позволяющее определить вероятность появления случайной величины в любом интервале.

Основными формами закона распределения являются: ряд распределения, функция распределения и плотность распределения.

Ряд распределения представляет собой таблицу, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Xi	X1	X2	X3	….	Xn
Pi	P1	P2	P3	….	Pn

В таблице X_i - i-е значение случайной величины Х; P_i - вероятность появления i-го значения случайной величины X. При этом

Эмпирический ряд распределения представляет собой таблицу, в которой перечислены наблюдаемые значения (фактические реализации) случайной величины и соответствующие им частоты:

Xi	X1	X2	X3	….	Xn
mi	m1	m2	m3	….	mn

В таблице x_i — i-я фактическая (наблюдаемая) реализация случайной величины Х; m_i — количество появлений (частота) величины х_i.

Ряды распределения, образованные из значений случайной величины, характеризующей качественный признак, называются атрибутивными. Ряды распределений, образованные из значений случайной величины, характеризующей количественный признак явления (события), называются вариационными.

Ряд распределения не может служить характеристикой непрерывной случайной величины, поскольку значения этой величины нельзя перечислить, так как множество их несчетно. Кроме того, вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Для характеристики непрерывной случайной величины определяют вероятность появления значения случайной величины меньшего x, где x — текущая переменная, т. е. определяют вероятность события X < х. Вероятность этого события зависит от x, т. е. является функцией х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):

F(x) = Р(Х < х)

Таким образом, функцией распределения случайной величины X называется функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величина X примет любое значение, меньшее х.

Вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал [а, b) равна разности значений функции распределения в точках b и а:

.

Функция распределения есть неубывающая функция, значения которой начинаются с нуля и доходят до единицы, причем в отдельных случаях функция может иметь скачки — разрывы. Функцию распределения дискретной случайной величины можно определить, зная ее ряд распределения, по формуле:

.

где суммирование распространяется на значения х_i которые меньше х.

Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя использовать в качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений, то определяют вероятность появления случайной величины в пределах малого интервала [х, х + Δх), примыкающего к x. Разделив эту вероятность на длину интервала Δх, находят среднюю плотность вероятности и при неограниченном уменьшении длины интервала переходят к пределу, который является плотностью распределения в точке х:

.

Плотность распределения f (х) есть предел отношения вероятности попадания случайной величины на малый участок и длины этого участка при ее неограниченном уменьшении.

Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок [a, b) равна:

.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице, т. е.

.

Это очевидно, так как указанный интеграл выражает вероятность достоверного события - попадания случайной величины на участок от - ∞ до ∞, а значит, равен единице.

График плотности распределения называется кривой распределения, лежащей в верхней полуплоскости. Кривая распределения совместно с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице (рис. 1.1).


Рис. 1.1. График плотности распределения (кривая распределения)
Вероятность попадания на участок [а, b) равна площади ограниченной кривой распределения, опирающейся на участок [а, b).

Плотность распределения есть производная функции распределения. С другой стороны:

откуда .

Величину F (x) называют интегральной функцией распределения X. Величина f (x) – дифференциальная функция распределения случайной величины X. Для оценки особенностей законов распределения случайных величин определяют числовые характеристики этих велчин.
Пример 1.1. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

Решение

Пусть А – событие, состоящее в том, что в первом выбранном поселке находится пункт проката; В – событие, состоящее в том, что во втором выбранном поселке находится пункт проката.

Вероятность события А: Р(А) = 5/100 = 0,05

Рассмотрим событие В при условии, что событие А произошло. Найдем условную вероятность: Р(В/А) = 4/99 = 0,04.

Искомая вероятность найдется как вероятность произведения двух событий: Р(АВ) = (5/100) *(4/99) = 1/495 = 0,002.

2. Числовые характеристики случайных величин

При решении многих практических задач часто достаточно указать отдельные числовые характеристики, определяющие особенности того или иного распределения случайной величины. Это прежде всего среднее значение, которое принадлежит к характеристикам положения случайной величины, т. е. представляет такую величину, относительно которой каким-то образом группируются, рассеиваются всевозможные значения случайной величины.

Среднее значение, или математическое ожидание дискретной случайной величины, вычисляется по формуле

,

где х_i – возможные значения случайной величины X;

P_i - вероятность появления i-го возможного значения случайной величины X.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание определяется интегралом:

.

Медианой Me (Х) случайной величины называется такая величина, относительно которой равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины:

Р(Х > Me) = Р(Х < Me).

Медиану применяют в качестве характеристики ряда распределения в тех случаях, когда имеются очень большие колебания случайной величины.

Модой Мо (Х) дискретной случайной величины называется ее значение, обладающее наибольшей вероятностью. Для непрерывной случайной величины мода есть такое значение, которое отвечает максимальной плотности распределения.

Для оценки степени разброса, рассеивания значений случайной величины относительно среднего вычисляют следующие характеристики: дисперсию; среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от своего математического ожидания:

Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение значений случайной величины относительно математического ожидания, т. е. будет больше рассеивание случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

.

Дисперсия непрерывной случайной величины равна:

.

Среднее квадратическое отклонение (, которое равно положительному значению корня квадратного из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение имеет одинаковую размерность со случайной величиной.

Величины и показывают абсолютное отклонение от среднего значения случайной величины, что недостаточно характеризует уровень ее рассеивания. Относительной характеристикой рассеивания является коэффициент вариации, вычисляемый как отношение среднего квадратического отклонения и эмпирической средней:

.

Коэффициент вариации может использоваться для сравнения меры рассеивания (колеблемости) случайных величин, имеющих различную размерность.

Пример 1.2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Х	2	4	6	8
р	0,4	0,2	0,1	0,3

Y	0	1	2
p	0,5	0,2	0,3

Найти математическое ожидание случайной величины Z = 2X + 3Y

Решение

Используя свойства математического ожидания, а также учитывая, что X и Y - независимые величины, имеем: M(Z) = M (2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y)

Тогда M(X) = 2*0,4+4*0,2+6*0,1+8*0,3 = 4,6

M(Y) = 0*0,5+1*0,2+2*0,3 = 0,8

M(Z) = 2*4,6+3*0,8 = 11,6

2. Статистическая оценка законов распределения случайных величин

Эмпирические ряды распределения, получаемые при обработке первичных статистических данных, оформляются в таблицах или изображаются графически посредством геометрических образов. Построение эмпирических графиков и диаграмм позволяет установить на первом этапе исследования, к какому типу теоретических распределений ближе всего полученное эмпирическое распределение, что облегчает выбор конкретных технических приемов обработки исходных данных.

Статистическая таблица – система строк и столбцов, в которых в определенной последовательности и связи излагается статистическая информация о социально-экономических явлениях.

Статистические графики представляют собой условные изображения числовых величин и их соотношений посредством линий, геометрических фигур, рисунков или географических карт-схем.

По способу построения графики делятся на диаграммы, картограммы и картодиаграммы. Наиболее распространенными являются диаграммы. Они бывают разных видов: линейные, радиальные, точечные, плоскостные, объемные, фигурные.

На картограмме распределение изучаемого признака по территории изображается условными знаками (точками, штриховкой, цветом и т.д.), соответствующими определенным интервалам значений величины этого признака. Эти знаки покрывают контур каждого района. Картограмма применяется в тех случаях, когда возникает необходимость показать территориальное распределение какого-нибудь одного статистического признака между отдельными районами для выявления закономерностей этого распределения.

Картодиаграмма – это сочетание диаграммы с географической картой. В качестве изобразительных знаков в картодиаграммах используются те или иные фигуры, которые размещаются на контуре географической карты. Картодиаграммы дают возможность графически отразить более сложные статистико-географические соотношения, чем картограммы.

Начальным этапом статистического изучения вариации является построение вариационного ряда – упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (убывающим) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Вариационный ряд часто называют рядом распределения.

Рассмотрим процедуру построения вариационного ряда. Для этого будем рассматривать некоторую случайную величину X. При функционировании экономической системы или ее элемента в течение некоторого времени t случайная величина X может принять п определенных значений. Совокупность этих случайных значений случайной величины в математической статистике называется статистической выборкой объема п. Если расположить отдельные значения случайной величины X в возрастающем или убывающем порядке и указать относительно каждого значения, как часто оно встречалось в данной совокупности, то получится эмпирическое распределение случайной величины, или вариационный ряд, на основании которого определяются аналитическая форма неизвестной плотности вероятности Δх, функция распределения F(x) и оцениваются входящие в нее параметры.

Весь диапазон значений непрерывной случайной величины X разбивается на интервалы. Далее подсчитывается количество значений m_i, случайной величины X, приходящейся на каждый интервал, и определяется частота ее попадания в данный интервал по формуле:

.

Если случайная величина X, принимает значение, попадающее на границу i-го и (i+1)-го интервалов, то это значение учитывается в числе попаданий в (i + 1)-й интервал.

Определив таким образом частоты попадания случайной величины X в каждый интервал, получим вариационный (статистический) ряд, который представляют в виде таблицы:

Интервал			…		…
Частота			…		…

Оптимальная длина интервала определяется по формуле:

.

Х_max – Х _min - размах вариации случайной величины X.

Число интервалов будет равно:

k = .

Если k не целое число, то в качестве числа интервалов надо взять ближайшее к k целое число, не меньшее k.

Вариационные ряды могут быть изображены графически в виде полигона распределения и гистограммы.

Полигон распределения представляет собой многоугольник, который строится на прямоугольной координатной сетке. В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для фактических значений случайной величины X, на оси ординат — для частот .

Пользуясь этими шкалами, наносят точки M₁ с координатами x₁ и . Точки соединяют ломаной линией M₁ M₂ M_3…M_i….M_k. Крайние точки M₁ и M_k, если они лежат на оси O_x, соединяют также со смежными точками соответственно M_o (X_o, 0) и М_k+1 (x_k+1,0) на оси абцисс. Полученный таким образом многоугольник M₀ M₁ M₂ …. M_i …. M_k M_k+1 является полигоном распределения.

Рис. 1.2. Полигон распределения реализаций случайной величины X
Полигоны распределения чаше всего применяются для изображения дискретных вариационных рядов.

Гистограмма распределения реализаций случайной величины применяется для графического изображения интервальных рядов распределения. Она представляет собой многоугольник, построенный с помощью смежных прямоугольников. В случае непрерывных равных интервалов с шириной интервала Δх гистограмма строится следующим образом (рис. 1.3).


Рис. 1.3. Гистограмма распределения
В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для реализаций случайной величины X. на оси ординат – величины . Пользуясь этими шкалами, строят прямоугольники ABCD, DEFG,основания которых соответствуют ширине интервала Δх, а высоты равны отношениям . Многоугольник ABCEF... QORJA и является гистограммой распределения.

Гистограммы чаще всего применяются для изображения вариационных рядов с непрерывными значениями случайной величины X. При уменьшении величины каждого интервала гистограмма будет приближаться к некоторой плавной кривой, соответствующей графику функции плотности распределения случайной величины X. Следовательно, в результате построения гистограммы можно получить представление о дифференциальном законе распределения случайной величины X.

Пример 1.3. Построить гистограмму и статистическую функцию распределения часовой выработки подвижного состава автопредприятия.

Значения часовой выработки получены в ходе наблюдения за работой автомобилей-самосвалов КамАЗ-5511 в течение календарного года. Объем выборки составил n = 100 наблюдений. Размах вариации равен:

Величина интервала вариационного ряда определена:

Количество интервалов вариационного ряда равно:

Вариационный ряд часовой выработки автомобиля представлен в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Вариационный ряд часовой выработки автомобиля

Интервал	4-5,5	5,5-7,0	7,0-8,5	8,5- 10	10-11,5	11,5-13,0	13,0-14,5	14,5-16
Частота	0,07	0,14	0,17	0,17	0,15	0,14	0,11	0,05

Решение

Для построения гистограммы определим ее ординаты из выражения:

Основываясь на данных табл. 1.1 и проведенных расчетах построим гистограмму (рис. 1.4).

Следует отметить, что при неограниченном увеличении объема выборки п кривая гистограммы частот совпадает с графиком плотности вероятностей.

Построим статистическую функцию распределения часовой выработки автомобиля:

Рис. 1.4. Гистограмма часовой выработки автомобиля
График статистической функции распределения представлен на рис. 1.5.



Рис. 1.5. Статистическая функция распределения часовой выработки автомобиля

2. Основные законы распределения случайных величин. Выбор теоретического закона распределения

Дискретные законы распределения

Биномиальное распределение

Это распределение числа X появления события А в серии из n независимых испытаний. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна р, а вероятность его отсутствия q = 1 —р. В каждом испытании возможно два исхода: наступление или ненаступление события А. При сформулированных условиях ряд распределения числа появления события А определяется формулой Бернулли:

или ,

где P(x=m) – вероятность появления события А равна т раз в серии из n испытаний.

Характер биномиального распределения определяется двумя параметрами: р и n. На рис. 1.6 показаны многоугольники биномиального распределения для некоторых значений этих величин.

Рис. 1.6. Примеры кривых биноминального распределения
Числовые характеристики биномиального распределения случайной величины X:

• математическое ожидание М[Х] = п•р;

• дисперсия D_x = п • р • q = п • р(1 - р);

• коэффициент асимметрии (скошенности) распределения:

;

• коэффициент эксцесса (мера крутости) распределения:

.

Пример 1.4. Техническая система состоит из пяти независимо друг от друга функционирующих узлов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказов узлов, если вероятность отказа любого из них р = 0,2.

Решение

Математическое ожидание числа отказов:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент асимметрии:

Коэффициент эксцесса:

Распределение Пуассона

Данное распределение является предельным случаем биномиального распределения. Предположим, что в биномиальном распределении р 0 и п ∞, так, что п*р М[Х] = а > 0. Тогда плотность вероятности биномиального распределения принимает вид:

k=0,1,2,…,

что и является распределением Пуассона. Распределение Пуассона зависит только от одного параметра – математического ожидания М[Х] = а. Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей распределение Пуассона, равны величине а > 0, а именно дисперсия случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, численно равна ее математическому ожиданию. Этим свойством пользуются для оценки близости эмпирического распределения к распределению Пуассона.

Пример 1.5. Определить вероятность того, что на АЗС находится один или хотя бы один автомобиль, если среднее число автомобилей, находящихся в данном интервале времени на АЗС, а = 3.

Решение

1. 
   Вероятность нахождения одного автомобиля на АЗС следующая:
   

2. 
   Вероятность того, что на АЗС будет находиться хотя бы один автомобиль, равна вероятности того, что на АЗС будет находиться не менее одного автомобиля, т. е.
   

Непрерывные распределения вероятностей

Нормальное распределение

Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное. Плотность нормального распределения определяется по формуле:

Непрерывная случайная величина X принимает значения от -∞ до +∞. Соответствующая функция распределения равна:

Типичные графики плотности вероятности f(х) и функции нормального распределения приведены на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Графики кривых нормального распределения
Основные свойства нормального распределения:

1. 
   нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией;
   
2. 
   кривая плотности вероятности f(х)нормального распределения симметрична относительно математического ожидания т_х. Максимум плотности распределения соответствует абсциссе, равной т_х;
   
3. 
   при |х| ∞ ветви кривой распределения асимптотически приближаются к оси 0х;
   
4. 
   математическое ожидание случайной величины X, распределенной в соответствии с нормальным законом, совпадает по величине с ее модой и медианой;
   
5. 
   коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.
   

При значении σ_x = 1 и т_х = 0 нормальную кривую называют нормированной, а соответствующий закон распределения — стандартным нормальным законом распределения с плотностью:



Пример 1.6. Среднее время обслуживания персонального компьютера (ПК) t = 2 ч. Среднее квадратическое отклонение времени обслуживания равно σ_t = 0,403 ч. Определить вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени от 1,5 до 2,5 ч.

Решение

1. Вероятность попадания случайной величины t в интервал [1,5; 2,5] будет равна:

2. Определим z:

3. По таблицам «Функция распределения для закона Гаусса» определим значение стандартной нормальной функции распределения:

4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени [1,5; 2,5] будет равна: р(1,5 < t < 2,5) = Ф(z₂) - Ф(z₁) = 0,892 - 0,107 = 0,785.

Гамма-распределение и распределение Эрланга

Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения вычисляется по формуле:

при x>0, где λ > 0 и k > 0

Г (k) – гамма-функция:

Если k – целое неотрицательное число, то Г(k) = k!

Математическое ожидание случайной величины X, подчиненной гамма-распределению, равно:

При этом дисперсия величины Х определяется по формуле:

При целом k > 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка, т. е.

(x>0; k=1,2,…)

Закону Эрланга k-го порядка подчинена сумма независимых случайных величин х₁, + х₂ + ... + х_к, каждая из которых распределена но показательному закону с параметром λ.

При k = 1 гамма-распределение превращается в показательное с параметром λ.

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой: .

x>0

Положительная величина λ является параметром показательного распределения.

Функция распределения случайной величины X выглядит следующим образом:

Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Графики показательного распределения

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показательное распределение, обратно его параметру, т. е.

Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное распределение, равна

Отсюда т.е.

Коэффициент вариации случайной величины Х, имеющей показательное распределение, равен единице:

Существует важное соотношение между пуассоновским и экспоненциальным распределениями. Если случайная величина подчинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя последовательными отказами, распределена по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение можно, в сущности, вывести из распределения Пуассона.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне его равна нулю.

Кривая равномерного распределения показана на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Кривая равномерного распределения
Значения f(х) в крайних точках а и b участка (а, b) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [a, b], равно: .

Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [a, b], вычисляется по формуле: .

Отсюда

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на участок [a, b]: .

Пример 1.7. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 мин?

Решение

Так как (β - α) = 3 мин., a (b - а) = 4 мин., то P(0< X <3) = 3/4= 0,75

Выбор теоретического закона распределения случайной величины
При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть определены в первом приближении по таблице 1.2.

Для более точного определения теоретического закона распределения проводят дополнительную статистическую обработку данных. При обработке статистических данных решают вопрос о том, как подобрать для исходного статистического ряда теоретическую кривую распределения, которая выражала бы лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, обусловленные недостаточным объемом выборки экспериментальных данных. Под построением теоретической кривой распределения понимается такая обработка статистических данных, когда обеспечивается подбор наиболее подходящего теоретического закона распределения, который может быть задан либо функцией распределения F(х), либо плотностью распределения f(х).

Таблица 1.2

Законы распределения случайной положительной величины в зависимости от коэффициента вариации

Пределы изменения коэффициента	Закон распределения случайной величины Х
вариации Vx
Vx =< 0,3	Нормальный
0,3 < Vx < 0,4	Гамма-распределение
0,4 =< Vx < 1	Вейбулла
Vx = 1	Экспоненциальный, пуассона

Для построения теоретической кривой распределения исходный статистический ряд распределения аппроксимируется одной из дифференциальных функций теоретического распределения f(х). При этом выбирается такая функция f(х), которая обеспечивала бы максимальное приближение теоретических данных к эмпирическим f(х)≈f*(x). Для оценки правдоподобия этого приближенного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции f(х).

Наиболее употребительными критериями согласия являются критерий χ² К. Пирсона и критерий А.Н. Колмогорова.
Задачи по теме «Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем» представлены в Приложении 1 учебного пособия.