Задачи по теме «Транспортные задачи»

1. 
   Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой таковы:
   

bj ai	250	300	200	200
200	9	8	3	1
350	7	10	6	4
400	2	3	8	12

2. 
   Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, исходные данные которой таковы:
   

bj ai	80	120	160	120
120	1	3	4	2
160	4	5	8	3
200	2	3	6	7

3. 
   Решить транспортную задачу методом потенциалов:
   

bj ai	5	5	10	10	5
5	3	4	6	5	13
5	5	2	7	6	10
10	9	5	2	2	6
15	9	4	4	9	5
10	4	6	2	3	4

4. 
   Решить транспортную задачу методом потенциалов:
   

bj ai	5	5	10	10	5
5	3	4	6	4	12
5	6	3	7	6	10
10	10	5	2	2	6
15	9	4	4	9	5
10	6	6	2	3	4

5. 
   Имеются три пункта поставки однородного груза – А₁; А₂; А₃ и пять пунктов потребления этого груза – В₁; В₂; В₃; В₄; В₅. В пунктах А₁; А₂; А₃ находится груз а₁; а₂; а₃ соответственно. Груз необходимо доставить в пункты В₁; В₂; В₃; В₄; В₅ в количестве b₁; b₂; b₃; b₄; b₅ соответственно. Расстояния между пунктами в км заданы матрицей ||D||. Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей, используя параметры, представленные ниже. Элементы матрицы ||D|| помещены в таблицу.
   

А^Т = (а₁; а₂; а₃) = (250; 200; 200)

B^Т = (b₁; b₂; b₃; b₄; b₅) = (120; 130; 100; 160; 110)

27	36	35	31	29
22	23	26	32	35
35	42	38	32	39

Задачи по теме «Теория игр»

1. 
   Дана платежная матрица 3 х 4, которая определяет выигрыши игрока А. Вычислить нижнюю и верхнюю цены заданной игры.
   

10	4	11	7
7	6	8	20
6	2	1	11

2. 
   Решите игру с платежной матрицей ||А||.
   

2	3	6	5
1	-2	5	5
5	4	3	0

3. 
   Решите игру с платежной матрицей ||А||.
   

2	3	6	5
1	-2	7	3
5	4	3	0

4. 
   При выборе стратегии R_ij () каждому возможному состоянию природы S_i () соответствует один результат (исход) V_ji (; ).Элементы V_ji, являющиеся мерой дохода при принятии решения, приведены ниже в таблице (д.е.):
   

Стратегии	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4
R1	2	6	5	8
R2	3	4	1	4
R3	5	1	6	2

Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α = 0,5)

5. 
   При выборе стратегии R_ij () каждому возможному состоянию игры S_i () соответствует один результат (исход) V_ji (; ). Элементы V_ji, являющиеся мерой выигрышей при принятии решения, приведены ниже в таблице:
   

Стратегии	Состояния игры
	S1	S2	S3	S4
R1	2	10	5	0
R2	3	4,5	9	6
R3	-5	3	-2	-4
R4	8	5	-3	-5

Выберите оптимальное решение в соответствии с критерием Гурвица с условием, что внешняя среда находится в выгодном состоянии с вероятностью 50%.

Задачи по теме «Типовые модели управления»

1. 
   Затраты на защиту информации в условиях угроз различной степени составляют R₀ = 0 (защита не предпринимается); R₁ = 15; R₂ = 25; R₃ = 35. Убытки от событий, связанных с кражей и несанкционированным доступом к информации составляют S₀ = 0 (событие не произошло); S₁ = 6; S₂ = 11; S₃ = 16 . Считается, что противодействие R_i способно предотвратить все неприятности Sj такие, что i >=j и совсем не способно уменьшить неприятность S_k при i < k. Составить платежную матрицу, матрицу рисков, определить целесообразный размер затрат на защиту информации с помощью критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (q = 0,25).
   

2. 
   Максимальная месячная стоимость продукции и материальных ресурсов, хранимых на складах, составляет: b₁ = 155, b₂ = 120, b₃ = 110 тыс. руб (здесь b₁ – стоимость готовой продукции на первом складе, а b₂ и b₃ – стоимость материальных ресурсов на втором и третьем складах). Складам угрожает кражей криминальная структура. Предполагается, что вероятность незащищенности объектов-складов составляет 50%. Составить платежную матрицу, игру для игрока 2 (предприятие), антагонистическую игру для игрока 1 (криминальная структура). Найти оптимальные векторы и цены этих игр.
   

3. 
   Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренца:
   

Какую часть дохода получают 12% наиболее низко оплачиваемого населения? Посчитать коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода.

4. 
   Объем продаж при цене в 15 тыс. руб. составляет 1500 штук товара, при цене в 16 тыс. руб. – 1400 штук. Издержки на единицу товара составляют 12 тыс. руб. (при цене 15 тыс. руб.). Увеличение цены на 100% ведет за собой увеличение издержек на 20%. Зависимость между спросом и ценой на товар линейная. Найти объем производства, при котором прибыль максимальна.
   

5. 
   Для сборки первых 50 CD-плейеров (1 единица продукции) потребовалось 70 человеко-часов. В последующем для сборки любой единицы продукции – 50 плейеров – требовалось меньшее время в соответствии с формулой обучения f(x) = 70x^-0,24. Найти время, которое потребовалось для производства 5 единиц продукции (250 CD-плейеров) после того, как 2 единицы уже были произведены.
   

6. 
   Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имею следующий вид:
   

5p + 2x = 50; 5p – 6x = 10

7. 
   Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид p = 150/(2x + 5). Найти выигрыш потребителей, если равновесная цена равна 90.
   

8. 
   Функция совокупных издержек производства некоторой продукции имеет вид C(x) = 1000 + 2x + 0,04x². Найти среднее значение издержек при изменении объема производства от 100 до 200 единиц.
   

Ольга Анатольевна Цуканова

Математические методы моделирования экономических систем
Учебное пособие

В авторской редакции

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

Зав. редакционно-издательским отделом Н.Ф. Гусарова

Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99

Подписано к печати ____________

Тираж ____ экз. Заказ № ___



Редакционно-издательский отдел

Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики

197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49