Гидравлическое сопротивление в трубопроводах. Расчет диаметра трубопроводов

Гидравлическое сопротивление при ламинарном движении

Рассмотрим трубопровод круглого сечения длиной L

0

Рис.1 Трубопровод круглого сечения длиной L

Решение уравнения Навье-Стокса для ламинарного течения жидкости в трубе круглого сечения приведено в лекции 3, где получен профиль скорости по радиусу трубы- уравнение Пуазейля (уравнение 56 в лекции 3):

И средняя скорость по поперечному сечению трубы S:

(1)

Преобразуем уравнение Бернулли для этого случая :

z=z₁=z₂ ; S=const ;w=w₁=w₂

^,



= (2)

То есть, на преодоление гидравлического сопротивления трубопровода затрачивается пьезометрический или напор давления жидкости.

Выразим величину из уравнения (1) :

и подставим ее в выражение (2), заменив радиус R трубы ее диаметром d и умножив числитель и знаменатель на величину средней скорости w:

=

или

= (3)

Это уравнение, выражающее гидравлическое сопротивление при ламинарном движении жидкости в трубе круглого поперечного сечения, получено теоретически. В этом уравнении:

L/d - геометрическая характеристика канала (геометрический симплекс);

64/Re= - коэффициент гидравлического трения (коэффициент трения) для круглой цилиндрической трубы.

Уравнение (3) тогда можно представить:

= (4)

или

= (5)

- коэффициент сопротивления трению. Определяется критерием Re, шероховатостью стенок, кривизной канала.

Для каналов некруглого поперечного сечения =а/Re; для квадратного а=57; для кольцевого а=96.

Гидравлическое сопротивление при турбулентном движении

При турбулентном течении аналитически получить уравнение для расчета коэффициента трения невозможно, т.к. в этом случае система уравнений Навье-Стокса делается незамкнутой из-за наличия пульсационных составляющих и, следовательно, не имеет решения. Поэтому при турбулентном движении значения коэффициента трения, как функции критерия Re, находят экспериментально, с помощью теории подобия. Т.е. находят конкретный вид уравнения Eu=A Re^mFrⁿ Г₁^q1 Г₂^q2 и отсюда выражают

Так, для круглой прямой гладкой трубы при 3∙10³10⁵

формула Блаузиуса (6)

или Eu=0,158 Re^-0,25l/d

= (7)

Таким образом, при ламинарном течении ~ w¹, а при турбулентном течении по гладким трубам эта потеря напора в большей степени зависит от скорости ~ w^1,75

При турбулентном движении коэффицинт трения зависит в общем случае не только от характера движения (Re), но и от шероховатости стенок труб.

Шероховатость труб может быть количественно оценена некоторой усредненной величиной абсолютной шероховатости ∆, представляющей собой среднюю высоту выступов шероховатости на внутренней поверхности трубы.

Для новых труб: ∆ =0,06-0,1 мм

Для бывших в употреблении: ∆ =0,1-0,2 мм

Для загрязненных и чугунных труб: ∆ до2 мм

Для латунных, медных, свинцовых и стеклянных труб ∆ =0,0015-0,01 мм. Их обычно считают гладкими и определяют коэффициент трения по формуле Блаузиуса.

Относительная шероховатость стенок ∆/d_ср

d_ср - средний внутренний диаметр трубопровода.

Определение коэффициента трения для шероховатых труб при турбулентном течении.

Экспериментально было установлено, что:

1. Критическое значение числа Re для жидкости, движущейся по шероховатым трубам, остается тем же, что и для гладких - 2320.

2. Коэффициент трения увеличивается с увеличением относительной шероховатости .

3. При больших числах Re величина коэффициента трения приближается к постоянной величине тем быстрее, чем больше шероховатость .

Влияние шероховатости на величину определяется соотношением между средней высотой выступов шероховатости ∆ и толщиной вязкого подслоя , движение жидкости в котором практически ламинарное.

В некоторой начальной области турбулентного течения толщина вязкого подслоя больше высоты выступов шероховатости (>∆) и жидкость плавно обтекает эти выступы, т.е. влиянием шероховатости на величину можно пренебречь. Эту область называют областью гладкого трения и коэффициент трения вычисляют по формуле Блаузиуса.

При возрастании Re толщина вязкого подслоя уменьшается и, когда она становится сравнимой с абсолютной шероховатостью (∆), значение коэффициента трения начинает зависеть от шероховатости. При этом , а, следовательно, и потеря напора на трение возрастает под действием сил инерции, возникающих вследствие дополнительного вихреобразования вокруг выступов шероховатости.

Таким образом, с увеличением числа Re область гладкого трения переходит сначала в область смешанного трения, где на коэффициент трения влияют уже и критерий Re, и шероховатость, а затем, в так называемую автомодельную по отношению к Re область. В автомодельной области коэффициент практически не зависит от Re, а определяется лишь шероховатостью. В этой области потери на трение пропорциональны квадрату скорости (поскольку в уравнении коэффициент f (Re), то ~ w²). Поэтому автомодельную область также называют областью квадратичного закона сопротивления.

lg

Рис.2. Зависимость коэффициента трения от критерия и степени шероховатости 1/d_э/ ∆; кривые 1,2,3,4 соответствуют >>>

I Ламинарный режим, Re< Re₁; (Re₁ =2320); ~Re^-1

I' Переходная область, перемежающейся турбулентности, Re₁2;

(Re₂ =10000); ~Re^-1 или ~Re^-0,25

II Область смешанного трения. Нижняя прямая - прямая Блаузиуса Re₂3;

(Re₃ =100000); ~Re^-0,25

III Область квадратичного закона сопротивления (автомодельная по отношению к Re); Re> Re₃); = f (),

В 1841 году Ж. Пуазейль, исследуя течение крови в венах и капиллярах, показал, что сопротивление жидкости R, текущей в трубе, прямо пропорционально ее вязкости , скорости течения w и обратно пропорционально квадрату диаметра трубы d: R ~ w/d² Эта формула совпала с формулой Гагена.

Примерно в это же время уроженец Дижона А.Дарси (1803-1858) проектировал и строил городской водопровод. необычайный успех этого сооружения принес инженеру славу, он был приглашен для сооружения водопровода в Брюсселе. В ходе этих работ Дарси провел свои знаменитые научные исследования течения жидкости в трубах. Но, удивительное дело, найденная им зависимость не имела ничего общего с зависимостью Гагена-Пуазейля: R ~ w²/d

Многие добросовестнейшие экспериментаторы Англии, Швейцарии, Германии не могли устранить расхождение между формулами, что привело к напряженной драматической конфронтации, разделившей гидравликов на два лагеря. Вода подчинялась то одному, то другому закону.

Разрешить эту загадку удалось только в 1880 годах, когда О. Рейнольдсом были введены понятия о ламинарном и турбулентном течениях. Рейнольдс получил безразмерную величину - число Рейнольдса, которое как раз и управляет движением вязких жидкостей в трубах. Если, Re < 2300 течение ламинарное. В области 2300 < Re < 10 000движение является неустойчивым турбулентным и при Re  10 000 течение устойчивое турбулентное.

Стало ясно, почему получились разительные расхождения в опытах Гагена-Пуазейля и Дарси. Гаген и Пуазейль проводили свои измерения в капиллярных трубках, при Re < 2300 и выведенная ими формула оказалась справедливой при ламинарном течении. Дарси же проводил свои эксперименты над течениями, для которых Re > 10 000, его формула справедлива для турбулентных течений.
Потери напора в трубопроводе в общем случае обусловлена как сопротивлением трения, так и местными сопротивлениями.

В различных местных сопротивлениях происходит изменение скорости по величине или направлению. При этом возникают дополнительные (кроме трения) потери энергии (напора) вследствие ударов, местных завихрений и т.д. (см.рис.3)

Рис.3. Некоторые местные сопротивления: а - внезапное расширение; б - внезапное сужение; в - плавный поворот на 90⁰ (отвод); г - резкий поворот на 90⁰ (колено).

Потери напора на местные сопротивления, как и потери на трение, выражают в долях от скоростного напора. Отношение потери напора в данном местном сопротивлении h_м.с. скоростному напору w²/2g называется коэффициентом местного сопротивления и обозначают _м.с..

Итак, h_м.с. =_м.с. w²/2g для каждого местного сопротивления, и, суммарно, для всех местных сопротивлений:

h_м.с. =_м.с. w²/2g (8)

_м.с. - величина, определяемая опытным путем, находится в справочниках.

Итак:

; м.ст.ж. (9)
= ; н/м² (10)
Расчет диаметра трубопроводов

Диаметр трубопровода может быть определен по уравнению расхода (26, 27 см.лекцию 1). Так, для несжимаемой жидкости, было получено:

Для канала круглого сечения: S= d²/4 (cм. ур

откуда:

d =

То есть, величина диаметра трубопровода определяется выбором значения скорости движущейся в нем жидкости. Согласно уравнению, чем выше скорость, тем меньше диаметр трубопровода, тем меньше затраты на его изготовление и его стоимость, а также стоимость монтажа и ремонта трубопровода. Вместе с тем, при увеличении скорости растут потери напора в трубопроводе (ур. 4), т.е. увеличивается перепад давления, необходимый для перемещения жидкости, следовательно, растут затраты энергии на ее перемещение. Поэтому для расчета оптимального диаметра трубопровода необходим технико-экономический подход. При оптимальном диаметре трубопровода обеспечиваются минимальные затраты на его эксплуатацию. Суммарные годовые расходы на эксплуатацию трубопровода (кривая 3 на рис.4) складываются из годовых расходов на амортизацию, ремонт (кривая 1) и стоимости энергии, необходимой для перемещения жидкости по трубопроводу (кривая 2). Диаметр трубопровода, отвечающий оптимально выбранной скорости движения жидкости, соответствует минимуму на кривой 3.

Рис.4. К определению оптимального диаметра трубопровода

На основе технико-экономических соображений установлены рекомендуемые пределы изменения скоростей жидкостей, газов и паров в промышленных трубопроводах:

- для маловязких капельных жидкостей скорости не должны превышать 3 м/c;

- для вязких жидкостей - 1 м/c;

- при движении жидкости самотеком - 0,1-0,5 м/c;

- в нагнетательных трубопроводах - 1-3 м/c;

- для газов при небольших избыточных давлениях (до 0,1 бар) - 8-15 м/c;

- для газов под давлением (выше 0,1 бар) - 15-20 м/c;

- для насыщенного водяного пара - 20-30;

- для перегретого водяного пара - 30-50 м/c.

Для справки: скорость ветра при урагане 28-70 м/c.