Главная
страница 1

Поддержка моделирования сложных систем

И.Г. ПОСПЕЛОВ, Л.Я. ПОСПЕЛОВА

Вычислительный центр имени А.А. Дородницына РАН, Москва
ПОДДЕРЖКА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Сложные системы не только состоят из очень большого числа элементов, но выделяются своей уникальностью и способностью к качественным изменениям, к необратимому саморазвитию (живой организм, биосфера, человеческое общество, экономика). Опыт компьютерной поддержки моделирования экономики показал бесперспективность прямого импорта технологий моделирования вычислительного эксперимента в технических и естественных науках. Предложена методика моделирования экономики как сложной системы.
Коллектив ВЦ РАН, возглавляемый академиком РАН А.А. Петровым, за 40 лет получил не только модельную летопись российских экономических реформ [1, 2], но и опыт создания и практического использования инструментов компьютерной поддержки моделирования экономики [3, 4].

Экономика – пример сложной творческой системы. Экономика – это подсистема общества, управляющая производством, распределением и потреблением благ: ресурсов, товаров и услуг. Задача, которую должна решать современная экономика, чудовищно сложна. Речь идет о производстве миллиардов видов благ и их распределении между миллиардами физических и юридических лиц. По этой причине экономика как управляющая система всегда достаточно децентрализована. Напомним, что вопреки иногда звучащим утверждениям, что “в СССР планировалось все, до гвоздя”, Госплан оперировал всего примерно 2000 наименований продукции, в то время как в 1970-е гг. реальная их номенклатура превышала сотню миллионов. Именно катастрофическое несоответствие средств управления и наблюдения стремительно возрастающей сложности экономических связей было, по нашему мнению, главной причиной провала идеи централизованного планирования.

Сложные системы (живой организм; биосфера; человеческое общество и его подсистемы: технология, экономика, язык и т.п.) выделяются не просто тем, что состоят из очень большого числа элементов, но, прежде всего, своей уникальностью и, самое главное, способностью к качественным изменениям, можно сказать – творчеству. Поэтому, изучая сложную систему, мы фактически наблюдаем единственную траекторию, которая не воспроизводит себя статистически достоверно и не показывает всех потенциальных возможностей системы (неэргодичность).

Исследование сложных систем выводит нас за пределы применимости эмпирического метода, которой обеспечил триумф естественных наук в последние 300 лет. Опыт показывает, что из сложной системы получается много моделей, не выводящихся как частный случай из какой бы то ни было универсальной «супермодели». Частные модели описывают разные ракурсы исследуемой системы. Они оперируют разными наборами понятий и пренебрегают отнюдь не малыми отклонениями от учтенных в них закономерностей. Не срабатывает и традиционный способ классификации моделей. Систему моделей сложной системы можно рассматривать как математическую категорию. Понятия теории выступают в этом случае не как собрания частных случаев, а как морфизмы, отображающие одну частную модель в другие.



Наш опыт, тем не менее, показывает, что с помощью моделей можно достаточно много сказать о сложной системе. Хорошая модель не только описывает поведение системы при сложившейся структуре отношений, но и содержит описание границ собственной применимости и границ стабильности описываемой структуры. Только надо примириться с тем, что:

    • из разных моделей сложной системы нельзя сложить полную адекватную модель, например, такую, как компьютерные имитаторы технических систем, заменяющие в настоящее время экспериментальные установки;

    • вряд ли когда-нибудь мы сможем предсказать, какая структура возникнет в сложной системе после того, как предыдущая потеряет стабильность. Модель может выявить реальную угрозу существующему порядку вещей, но она не сможет спрогнозировать, как кризис разрешится. Невозможность экстраполяции в моделях сложных систем имеет аналогию с невозможностью предсказания поведения объекта управления в экспертных системах (ЭС), как только какой-либо параметр выходит за границы применимости. ЭС описывают характер поведения объекта сколь угодно подробно и точно в пределах области применимости (основное преимущество логико-лингвистического представления знаний), но экстраполяция здесь невозможна (основной недостаток).

Примером неожиданного “творческого” саморазвития служит текущий глобальный экономический кризис.

  • Период 19921999 гг. был периодом процветания американской экономики, когда США импортировали мозги и успешно экспортировали технологии. Материальные ресурсы покупались за границей, а основная масса населения занималась обслуживанием друг друга.

  • В 2000 г. выяснилось, что ввиду насыщения рынков развитие информационных и телекоммуникационных технологий (ИТ) уже не способно тянуть за собой всю американскую экономику – рост курса акций ИТ-компаний обернулся “пузырем”. Однако этот пузырь был образцово “сдут” за счет покупки своих акций крупными компаниями следующего уровня новизны технологий (IBM, Microsoft и т.д.). После этого был применен монетарный метод стимулирования экономики – снижение процентной ставки в расчете на то, что какая-нибудь другая отрасль пойдет в рост за счет дешевых денег. Но такой отрасли не нашлось, несмотря на то, что учетная ставка, т.е. процент, под который Федеральная резервная система США кредитует коммерческие банки, была снижена в 7.5 раз!

  • Догматически доведя до абсурда в 2000–2003 гг. политику монетарного стимулирования экономики и не достигнув успеха, власти США обратились к кейнсианским методам стимулирования за счет увеличения бюджетного дефицита: началась война в Ираке (2003 г.).

  • Кейнсианский метод сработал – в 2004–2006 гг. экономика (и процент) начали расти. Но этот искусственный рост не был подхвачен другими отраслями, и ипотечные кредиты, набранные в период низких процентных ставок, оказались невозвратными.

  • Ипотечный кризис 2006 г. был смягчен и “размазан” производными бумагами, которые диверсифицируют риски вложений – убытки от ипотеки были временно компенсированы доходами от бурного роста цен на ресурсы (нефть, металлы, продовольствие).

  • В 2008 г. рост рынка ресурсов тоже обернулся пузырем, который уже нечем было скомпенсировать. Началось падение экономики в мировом масштабе.

Эта логичная картина, однако, оказывается гораздо более странной, если взглянуть на нее в целом. Ключевой момент состоит в том, что ни монетарное, ни кейнсианское стимулирование не открыли нового “мотора” в экономике США, какими были автомобили в 1920-х, дороги и дома в 1930-х, самолеты в 1950-х, ЭВМ в 1960-х, ракеты в 1970-х, ПЭВМ в 1980-х, телекоммуникации в 1990-х. А это значит, что случился совсем не тот кризис, какого ждали.

Все ожидали кризиса возможностей (исчерпания ресурсов), а случился кризис потребностей (исчерпание стимулов к росту). Индустриальное общество уже выполнило свою задачу по удовлетворению потребления. Экономика “золотого миллиарда” физически расти может, но не хочет! При этом виртуальная экономика оказалась устойчивей реальной: продовольствие, топливо, металлы, золото оказались избыточными и потеряли в цене гораздо больше, чем услуги и информация. Даже в финансовой области рухнуло то, что испокон веков считалось самым надежным вложением – ипотека, т.е. кредит реальному лицу под реальный залог, а например, кредиты на раскрутку сайтов с рекламой пока что выплачиваются. Чем дальше в технологической цепочке от базовых отраслей находится производство, тем меньше оно страдает от кризиса.

Сложившаяся нынче система экономических механизмов работоспособна только при наличии перспективы экономического роста. В обозримом будущем либо рост восстановится, либо последует череда неудачных попыток его восстановить. И пока не возникли новые механизмы, адаптированные к нулевому росту, можно всерьез рассматривать только процессы спада и восстановления роста.



Экономика и физика: почему сходные подходы дают различные результаты. При моделировании экономики можно с успехом использовать подходы, давно апробированные в теоретической физике. Речь идет о вариационных принципах, принципах симметрии (как точной, так и нарушенной), делении величин на интенсивные и экстенсивные и др. Наш опыт, однако, показывает, что из общности подходов отнюдь не следует качественное подобие поведения моделей физических и экономических систем. Вариационные принципы играют в экономике иную роль и имеют иную, нежели в физике, топологию. Группы симметрии тоже другие, и смысл законов сохранения иной.

В физике, как известно, экстенсивными (аддитивными) величинами являются массы различных веществ, всевозможные типы зарядов, все виды энергии, энтропия, импульс, момент импульса и т. д. Их движение описывается балансовыми уравнениям переноса или реакции-диффузии.

В экономике экстенсивными величинами являются запасы материальных благ и финансовых инструментов. Их движение тоже описывается балансовыми уравнениями, но происходит оно не в пространстве, а на множестве экономических агентов.

В физике наиболее важны сохраняющиеся экстенсивные величины. Для современных финансовых систем формально сохраняется алгебраическая сумма запасов (остатков) любого финансовый инструмента, поскольку система его балансов не имеет источников и стоков. Рост оборотов инструмента происходит исключительно за счет так называемой кредитной эмиссии – одновременного роста активов (положительных запасов) и пассивов (отрицательных запасов) в результате соглашения о выдаче кредита. Из-за этого формальные законы сохранения финансовых инструментов оказываются менее полезными, чем физические законы сохранения. Например, наивно ждать, что при крахе одного рынка деньги оттуда уйдут на другой. При крахе пассивы взаимно уничтожаются с активами, и обороты падают на всех рынках, что и случилось, скажем, при крахе азиатского фондового рынка в 1997 г. В кризис активы сокращаются с пассивами, и теряют все.

Для физических систем характерны трансляционные и вращательные симметрии, а для экономики – масштабные. Наглядным подтверждением этому служит тот факт, что изменения в физическом мире мы обычно характеризуем скоростями (производными по времени), а изменения экономических показателей – темпами (логарифмическими производными по времени). Это означает, что в первом случае абсолютные масштабы величин существенны, а во втором – нет.

В результате в физике «любимыми» (т. е. наиболее показательными) решениями служат равномерные движения с постоянными скоростями, а в экономике – автомодельные решения, на которых экстенсивные величины растут по экспоненте, т. е. с постоянными темпами. Подавляющее большинство выводов экономической теории получено сравнительным анализом автомодельных решений довольно простых моделей экономики.

Любопытно, что в историческом плане «экономическая экспонента» индустриального общества до сих прорывалась сквозь, казалось бы, вполне объективные внешние ограничения, а прогнозы всех моделей, пытавшихся учесть конкретные пределы роста, – от Т. Мальтуса до Д. Медоуза включительно – блистательно проваливались. Исчерпавшуюся к концу XVIII  в. землю в западной экономике заместил капитал, исчерпавшиеся к началу XX  в. трудовые ресурсы  – автоматизация производства, а в ответ на угрозу исчерпания энергетических ресурсов к концу XX  в. произошло значительное замещение реальных потребительских благ «виртуальными».

Вариационный принцип в физике «руководит» всей системой, а в модели экономики у каждого агента свой вариационный принцип. Конструкция модели экономического равновесия как совокупности локальных оптимизационных задач, решения которых согласовываются благодаря подходящему выбору информационных переменных, – главный и, по существу, единственный оригинальный вклад математической экономики в общую «копилку» математических моделей. Но даже если, как в случае модели совершенной конкуренции, вариационные принципы разных агентов можно свести к единому вариационному принципу, остается существенное различие в топологической структуре этих принципов. Применение вариационного принципа всегда приводит к гамильтоновой системе уравнений движения, и это движение происходит по поверхностям постоянства функции Гамильтона.

В физике функции Гамильтона, грубо говоря, выпукла вниз. Поэтому ее устойчивые критические точки имеют характер центра вокруг минимумов энергии, а типичные движения сводятся к вращениям, колебаниям и намоткам на торы. При изменении начальных условий эти движения демонстрируют, в общем, нейтральную устойчивость – сдвигаются в целом на величину порядка изменения начальных условий.



При характерных для экономики целях максимизации капитализации, полезности, прибыли и т.п. функция Гамильтона получается выпуклой вниз по “импульсам” и выпуклой вверх по ”координатам”, а все ее критические точки имеют характер седла. В результате экономически осмысленные движения системы оказываются близкими к устойчивым сепаратрисам седел и слабо зависят от начальных условий на наблюдаемые переменные. Вытекающие из этого результаты известны под названием теорем о магистрали. Они дают надежду на то, что модели типа моделей межвременного равновесия будут верны в среднесрочной перспективе независимо от точности предсказания далекого будущего.

Необходимость новой информационной технологии моделирования экономики. Поскольку для сложных систем невозможны эксперимент и массовое наблюдение, ни для одной сложной системы до сих пор не создано универсальной модели, из которой все остальные следовали бы как частные случаи, подобно тому, как, скажем, модели радиотехнических устройств следуют из теоретической модели электродинамики. Приходится иметь дело с множеством моделей одной и той же системы, каждая из которых использует свой язык понятий и рассматривает систему в своем ракурсе. Если модели физических систем должны объяснить результаты сделанных и предсказывать результаты планируемых экспериментов, то модели сложных систем призваны, в первую очередь, заменить эксперимент. Итак, в экономике в отличие от физики нет базовой системы уравнений. Но мы принимаем структурную дисциплину описания экономики на макроуровне, основанную на следующих принципах.

  1. Модель описывает экономическую динамику как результат взаимодействия агентов (физических и юридических лиц), обменивающихся материальными благами (ресурсами, товарами, услугами) и информацией. Благодаря фундаментальному свойству аддитивности блага (агент n теряет то, что получает от него агент m), распределение запасов по агентам является мерой, и суммарный запас блага любого множества агентов удовлетворяет уравнению материального баланса.

  2. Запутанная система материальных балансов требует агрегирования информации о бесчисленных разнородных материальных благах. Свертывание информации в безразмерные аддитивные показатели в экономике осуществляют деньги: любому потоку обмена отвечает встречный поток платежей (количество блага, умноженное на его цену). Вследствие потока инноваций и увеличения роли информационных благ, которые по своей природе не удовлетворяют балансам (неаддитивны), финансовые показатели остаются единственными надежно измеряемыми величинами. Ими надо пользоваться, учитывая при этом, что возможность образования финансовых пузырей заложена в самой природе современных денег.

  3. Хотя индивидуальное поведение людей прихотливо, совокупное поведение групп индивидуумов, исполняющих сходные роли в условиях конкуренции и подражания (макроагенты), можно описывать как рациональное: макроагенты выбирают такую стратегию, которая максимизирует некий показатель (потребление, полезность, прибыль, капитализация) в условиях технологических и институциональных ограничений. Интересы макроагентов считаем просто вариационными принципами, которые выделяют наблюдаемую траекторию экономического поведения из всех возможных. Напротив, для описания поведения влиятельных индивидуумов, например государства, следует использовать сценарный подход.

  4. Идея экономического равновесия состоит в том, что каждый из макроагентов предлагает свой план (спрос или предложение) величины потоков материальных активов и финансовых инструментов, которыми он распоряжается. План этот зависит от значений особых информационных переменных (цен, процентов, курсов), характеризующих состояние экономики в целом. Информационные переменные определяются так, чтобы согласовать планы агентов в рамках системы балансов. В таком общем понимании экономическое равновесие не подразумевает никакой статичности и способно описывать случаи весьма нерегулярной экономической динамики.

  5. Приведенных выше принципов достаточно, чтобы построить статическую модель. В динамических моделях агент планирует свои действия на будущее, а значит, должен прогнозировать будущие изменения конъюнктуры. Возникает парадокс: строим модель, чтобы дать прогноз конъюнктуры, а для построения модели надо знать, как агенты конъюнктуру прогнозируют. Разрешает этот парадокс принцип рациональных ожиданий: модельные агенты используют для прогнозов ту самую модель, которую мы строим. Использование этого принципа при моделировании выявило феномен сильного магистрального эффекта: хотя в модели агентам разрешается знать будущее, это знание оказывается им не нужным при выработке оптимального поведения. Таким образом, модель сводится к традиционной динамической системе.

Наша новая технология, реализующая перечисленные принципы, основана на понятии канонической формы модели [3]. Модель – не просто система неравенств, алгебраических, конечно-разностных или дифференциальных уравнений и, может быть, оптимизационных задач. Соотношения модели имеют экономический смысл, и по смыслу группируются в блоки описания поведения экономических агентов и блоки описания взаимодействий агентов (рынки). Состояния агентов изменяются в силу уравнений материальных и финансовых балансов. В канонической форме требуется явно указать, какие из уравнений являются балансовыми.

Поведение агента описывается, как рациональный выбор в соответствии с его интересом из ограниченного множества допустимых действий. Выбор (план) агента зависит от изменяющихся во времени информационных переменных (цен, курсов, процентных ставок и пр.). В экономической теории этот план называется функцией спроса или функцией предложения. Согласование поведения агентов описывается в блоках взаимодействий, где один и тот же агент (“Население”, например) может играть роль продавца (труда), роль покупателя (товаров и услуг), роль получателя (процентов с депозитов).

Каноническая форма модели – строго определенный формальный объект. Доказана единственность представления модели в канонической форме. Это позволило практически решать вопросы, связанные со сходством и различием моделей.

Практические результаты. Применение традиционных методов инженерии знаний в технологиях моделирования сложных систем имеет свою специфику. Поскольку в экономике нет базовой системы понятий и базовой системы уравнений, теряет смысл постановка задачи поиска состояния системы управления в универсальном пространстве экономических характеристик: такого универсального пространства не существует. Однако, структурные характеристики канонической формы (агент, взаимодействие, роль агента, балансовое уравнение и пр.) имеют универсальный характер, поэтому правила построения канонической формы удалось сформулировать как аксиомы (условия совместности, условия полноты, правила вложения модели в экономический контекст). Правила-аксиомы не диктуют жесткую последовательность действий. Разработчик модели может описывать переменные и соотношения в удобном для него порядке, творить со всей изобретательностью и фантазией.

Новая технология моделирования интегрирует в единый аппарат различные методики ИТ: синтаксический и семантический контроль, контроль размерностей величин, контроль правильности уравнений балансов и информационных связей агентов, контроль корректности переобозначений величин. Технология помогает отслеживать историю символьных преобразований с запоминанием предыстории каждого уравнения, предлагает методики решения задач оптимизации. Новая технология поддерживается активно развиваемой инструментальной системой ЭКОМОД [3, 4]. Система реализована в среде компьютерной алгебры Maple.

Эффективность системы иллюстрируется моделированием экономики России с учетом теневого оборота. Модель успешно воспроизводила квартальную динамику около 20 основных макроэкономических показателей в течение 7 лет [4]. Каноническая форма этой модели содержала 102 разнородных уравнений и неравенств. Автоматическими упрощениями число их было сокращено до 57. Далее, в диалоговом режиме модель сведена к нелинейной краевой задаче для 6 дифференциальных и 11 алгебраических уравнений для 17 неизвестных. Окончательные результаты получены для 54-й версии модели. Ни целиком, ни по частям, модель не была записана на бумаге. Но запись модели в системе ЭКОМОД, содержащая пояснительный текст, после незначительного редактирования использовалась для публикации.

Работа поддержана РФФИ (№09-01-13534-офи_ц, №09-07-00461).



Список литературы


  1. Петров А.А. Об экономике языков математики. М.: ФАЗИС, 2003.

  2. Поспелов И.Г. Моделирование экономических структур. М.: ФАЗИС, 2003.

  3. Завриев Н.К.., Поспелова Л.Я., Поспелов И.Г. // Мат. моделирование. 2003. Т. 15. № 8. С. 54.

  4. М. Ю. Андреев и др. Технология моделирования экономики и модель современной экономики Россиию М.: МИФИ, 2007.




ISBN 978-5-7262-1280-7. НАУЧНАЯ СЕССИЯ НИЯУ МИФИ-2010. Том V


Смотрите также:
Поддержка моделирования сложных систем
136.99kb.
1 стр.
30. Методы моделирования сложных систем
85.7kb.
1 стр.
Лекция №16 Статистическое моделирование систем автоматизации на ЭВМ
127.41kb.
1 стр.
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения»
268.01kb.
1 стр.
Щирова И. А. Значение и смысл, понимание и интерпретация
128.58kb.
1 стр.
Тема Моделирование и классы моделей 1 Сущность моделирования 2 Возможные направления моделирования
45.18kb.
1 стр.
Лабораторная работа №2 Знакомство с языком gpss
50.61kb.
1 стр.
Исследование и разработка метода моделирования посадки вертолета в сложных погодных условиях на палубу корабля
198.28kb.
1 стр.
1 ориентированный граф
1052.42kb.
3 стр.
Программа дисциплины методы построения и анализа сложных математических моделей
103.26kb.
1 стр.
Тема 1 Машинное моделирование
153.56kb.
1 стр.
Тема: «Разработка теории обоснования параметров, методов моделирования и исследования элементов, объектов и систем возобновляемой энергетики с использованием инновационных технологий»
133.94kb.
1 стр.