Главная
страница 1

На правах рукописи


Русаков Александр Сергеевич




ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ВАРИАЦИОННОЙ ИНИЦИАЛИЗАЦИИ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ



АВТОРЕФЕРАТ


диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук


Москва – 2007

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН.


Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Залесный В.Б.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук Семенов Е. В.

Доктор физико-математических наук,

профессор Шутяев В. П.


Ведущая организация: Гидрометцентр России

Защита состоится «26» октября 2007 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119991 ГСП-1, Москва, ул. Губкина, 8.


С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.
Автореферат разослан «22» сентября 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук Бочаров Г. А.



ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Прогноз океанической среды является важнейшей составной частью современных систем долгосрочного и среднесрочного прогноза погоды. Одним из основных требований к успешному прогнозу состояния океана является точное задание начальных условий для прогнозируемых полей – инициализация модели океана. В настоящее время накоплено и доступно в оперативном режиме большое количество данных наблюдений состояния океана. Их можно использовать как для целей прогноза, так и для исследования структуры океанических полей и их изменчивости. Прежде чем проводить прогноз с помощью численной модели, необходимо найти способ использования имеющейся информации, полученной с помощью измерений, для “наилучшей” в некотором смысле оценки начального состояния системы. Процесс такого оценивания называется “усвоением данных”.

Задача определения начального состояния модели океана является обратной задачей высокой размерности − очень трудоемкой с вычислительной точки зрения. Например, даже для достаточно грубой дискретизации области Индийского океана (1ox1/2ox33) число начальных значений температуры, солености и компонент горизонтального вектора скорости составляет порядка 2.0*106.

Одной из самых быстрых программ моделирования динамики океана является сигма-модель общей циркуляции океана ИВМ РАН. Сигма-модель основана на методе расщепления и неявных схемах интегрирования (Марчук 1980, Залесный 1984). Качество сигма-модели динамики океана ИВМ РАН проверено как для расчетов циркуляции Мирового океана, так и для расчета циркуляции других акваторий.

Актуальной является задача дополнения сигма-модели океана ИВМ РАН методами решения обратной задачи инициализации динамики океана. Для решения задачи инициализации необходимо также усовершенствование алгоритмов прямой сигма-модели ИВМ РАН.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка и исследование методов и алгоритмов инициализации океанологических полей в сигма-модели общей циркуляции океана ИВМ РАН. Методологической основой алгоритмов является метод расщепления и сопряженных уравнений.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:


  1. Разработка эффективного вычислительного алгоритма решения задачи вариационной инициализации модели океана. Разработка сопряженной сигма-модели динамики океана.

  2. Разработка алгоритмов и программной реализации сигма-модели ИВМ РАН для многопроцессорных вычислительных систем.

  3. Разработка алгоритмов для решения прямой и сопряженной задачи вычисления функции уровня.

Методы исследования


Предлагаемые в работе алгоритмы усвоения данных основаны на вариационном принципе. Для вычисления градиента и минимизации функционала используется аппарат сопряженных уравнений. Алгоритм решения сопряженной системы уравнений базируется на методе расщепления.

Научная новизна работы


  1. Для решения задачи инициализации сигма-модели общей циркуляции океана впервые разработана сопряженная сигма-координатная модель общей циркуляции океана. В отличие от других работ благодаря использованию специальных дискретизаций и неявных схем в прямой и сопряженной моделях на порядок понижено число шагов по времени, что принципиально для вычислительной эффективности решения сопряженной и обратной задачи.

  2. Реализован оригинальный модульный алгоритм решения задачи инициализации океана основанный на методе расщепления по физическим и геометрическим координатам. Он состоит из трех базовых компонент: решения прямой задачи; решения сопряженной задачи (в обратном времени); решения задачи оптимизации функционала.

  3. Предложен алгоритм решения задачи вычисления “функции уровня” в модели общей циркуляции океана. В отличие от других реализаций моделей динамики океана, где для решения этой задачи используются методы без формирования матрицы оператора, предложено явным образом формировать матрицу оператора задачи с применением современных методов решения СЛАУ. Показано, что использование таких методов позволяет, в данном случае, ускорить время решения этой задачи в среднем в 100 раз.

  4. Разработана адаптивная вычислительная процедура, обеспечивающая эффективное решение СЛАУ для задачи “функции уровня”. Вычислительная эффективность достигается благодаря автоматическому выбору прямых разреженных или итерационных методов и параметров предобуславливания в зависимости от свойств задачи и вычислительной техники.

  5. Предложен алгоритм распараллеливания модели общей циркуляции океана. Вычислительный алгоритм сигма-модели базируется на методе расщепления и неявных схемах, что требует специальных параллельных алгоритмов.

Реализация результатов работы


Разработанные алгоритмы включены в программу моделирования общей циркуляции океана ИВМ РАН.

Разработан программный комплекс, предназначенный для решения задачи инициализации данных наблюдений. Комплекс успешно опробован на решении задачи инициализации Индийского океана.

Проведен цикл экспериментальных исследований практических разработок с использованием этих программ:


  1. Проведены численные эксперименты по усвоению данных наблюдений для областей Мирового океана.

  2. Разработанные алгоритмы применены для моделирования Индийского океана с высоким пространственным разрешением.

  3. Разработанное программное обеспечение используется в Национальном центре среднесрочного прогноза погоды (NCMRWF) в Индии, что подтверждается актом внедрения.

Численные эксперименты подтверждают работоспособность и вычислительную эффективность разработанных алгоритмов.

Практическая значимость


  1. Разработан комплекс программ для решения задачи инициализации океанологических полей. Разработанный комплекс программ может быть использован для решения задачи краткосрочного (среднесрочного) прогноза погоды в океане.

  2. С помощью программы решения сопряженной задачи можно оценивать чувствительность уравнений модели к вариации входных параметров. Комплекс позволяет проводить расчеты для идентификации начального условия в модели динамики океана за приемлемое время даже на однопроцессорных системах.

  3. Разработана параллельная программа моделирования динамики океана для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью. Так, например, параллельная программа позволяет ускорить моделирование до 70 раз для расчетной области 700х400х33 на 180 процессорах.

  4. Разработана версия модели динамики Индийского океана с качественно новым пространственным разрешением 1/8ox1/12ox21. Версия модели использована для моделирования муссонной циркуляции Индийского океана.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах ИВМ РАН, Гидрометцентра России, на российских и международных научных конференциях. В том числе на ассамблее европейского геофизического союза (Вена, 2006), международной летней океанографической школе (Ла-Лонде, Франция, 2004), “Параллельные вычисления и задачи управления” (PACO, Москва, 2004) на конференции ”Параллельные методы вычислительной гидродинамики” (PCFD Москва 2003). Содержание отдельных разделов диссертации доложены автором и обсуждены на двух научных конференциях МФТИ (Москва 2001, 2002), на семинаре в Национальном центре среднесрочного прогноза погоды (NCMRWF, Нойда, Индия).


Публикации по диссертации


По теме диссертации автором опубликовано 8 печатных работ, из них 2 опубликованы в реферируемых журналах рекомендуемых ВАК РФ для защиты кандидатских диссертациях. Объем печатных работ 178 страниц, из них 46 принадлежат лично автору. Результаты исследований отражены также в научно-технических отчетах ИВМ РАН за 2003-2006 год.

Личный вклад автора

Вклад автора в совместные работы заключается в совместной постановке и анализе численных экспериментов [1-8]. В разработке методов распараллеливания и технической реализации в [1], в реализации и совместной разработке сопряженной системы уравнений и алгоритмов усвоения данных в [4-7].



Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 125 страниц и содержит, кроме основного текста, 29 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 120 наименований.


КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражена актуальность темы диссертационной работы и формулируются ее основные цели.

Первая глава содержит обзор теоретических работ по решению задач усвоения данных океанографических наблюдений. Приведены оценки требований к вычислительным ресурсам основных методов усвоения данных. Показано, что использование сигма-модели ИВМ РАН в качестве основы системы усвоения данных может значительно повысить вычислительную эффективность.

Вторая глава посвящена разработке алгоритмов усвоения данных наблюдений на базе вариационных методов и аппарата сопряженных уравнений применительно к сигма-модели. В параграфе 2.1 приведены уравнения сигма-модели общей циркуляции океана и описан метод расщепления, применяемый для решения уравнений. Математическая модель основывается на примитивных уравнениях океана в приближениях Буссинеска, гидростатики, записанных в –системе координат. Прогностическими переменными модели служат горизонтальные компоненты вектора скорости (u, v), потенциальная температура T, соленость S, “приводное” давление p0 (p0=, где - уровень моря).

В параграфе 2.2 разработан алгоритм решения задачи вариационного усвоения данных наблюдений в модели динамики океана, основанной на системе примитивных уравнений. Рассматривается система уравнений сигма-модели динамики океана с неизвестным начальным условием. Предполагается, что поля приводного давления, горизонтальных компонент вектора скорости, температуры и солености в начальный момент времени неизвестны или известны с некоторой погрешностью. Предположим, что недостаток информации о начальных полях можно дополнить за счет данных измерений, имеющихся на некотором интервале по времени . Сформулируем следующую задачу инициализации. Найти такие гидрофизические поля , , , , , стартуя с которых, модель генерирует решение, минимально отклоняющееся от данных наблюдений на указанном интервале по времени .

Введем в рассмотрение функционал отклонения решения от данных наблюдений , , , , :

, (1)

где










.

Здесь - область, , p, T, S, u, v - некоторые весовые функции, p, T, S, u, v - параметры регуляризации, - характеристическая функция данных наблюдений. , , , , - известные функции “бэкграунда”. Тогда постановка задачи инициализации состоит в условной минимизации функционала J на решениях системы уравнений сигма-модели динамики океана. Известно, что эффективными методами ее решения являются методы оптимизации, базирующиеся на вычислении градиента функционала в зависимости от контрольных переменных (в нашем случае начального условия). Это могут быть методы типа градиентного спуска или квази-ньютоновские методы, часто используемые в практических расчетах. Эффективным способом определения градиента является решение задачи сопряженной к производной оператора. При этом достаточно на каждой итерации решить в обратном времени один раз сопряженную задачу.

Задача минимизации функционала отклонения решения от наблюдений в данной постановке не обладает свойством плотной разрешимости, т.е. даже при нулевом параметре регуляризации нельзя гарантировать, что найдется такое начальное условие уравнений модели динамики океана, при котором значение функционала отклонения станет меньше заданного . Однако практические расчеты показывают, что, с помощью метода вариационного усвоения данных наблюдений, во многих случаях удается существенно уменьшить значение функционала, оставаясь на решении системы уравнений динамики океана.

В главе получены сопряженные системы уравнений, соответствующие каждому блоку метода расщепления, приведен вывод сопряженной системы уравнений для этапа адаптации скорости и для этапа нелинейной диффузии, получена формула градиента функционала. Предложен алгоритм решения сопряженной системы уравнений, базирующийся на неявных схемах. Для того, чтобы определить градиент функционала в зависимости от контрольных переменных (в нашем случае это начальное значение), рассмотрим расширенный функционал с множителями Лагранжа . Проварьируем расширенный функционал L и приравняем к нулю коэффициенты при каждом компоненте , , , , , . Учитывая соответствующие граничные условия, получим сопряженную задачу. Тогда градиент функционала можно получить из:



где сопряженные функции являются решением соответствующей сопряженной системы уравнений. Зная градиент функционала, можно построить итерационный алгоритм решения обратной задачи инициализации. Алгоритм состоит в следующей последовательности шагов: 1) в решении прямой задачи и вычислении отклонения модельного решения от данных наблюдений (источники в сопряженной задаче); 2) в решении в обратном времени сопряженной задачи и вычислении градиента функционала; 3) в расчете поправки начального условия в соответствии с вычисленным градиентом функционала.

Сопряженная система уравнений имеет более сложный вид, чем уравнения исходной прямой модели, однако структура основных блоков одна и та же. Это достигается за счет симметризованной формы записи прямой системы уравнений и является оригинальной особенностью сигма-модели ИВМ РАН. Исключение составляют задачи, решаемые на этапах адаптации по вертикальной координате. Для решения такой задачи удобно использовать представление горизонтальных компонент вектора скорости в виде суммы их средних значений по вертикали и отклонений от них. В таком случае удается свести сопряженную задачу к виду, аналогичному для прямой, и воспользоваться разработанными алгоритмами решения прямой задачи.

В параграфе 2.4 разработан алгоритм идентификации для задачи переноса-диффузии тепла в океане. Сформулирована задача идентификации начальных и граничных условий как задачи минимизации функционала отклонения от данных наблюдений. Выписан итерационный процесс минимизации функционала и приведена теорема, обосновывающая разработанный алгоритм идентификации.



В третьей главе описаны разработанный метод распараллеливания сигма-модели динамики океана и эффективный алгоритм решения задачи для “функции уровня”.



Рисунок 1. Ускорение, полученное на МВС 1000М для пространственного разрешения 2.5x2x33 (148х88х33) и 0.5х0.4х33 (720х420х33) для области Мирового океана

Задача определения начального состояния океана является очень трудоемкой с вычислительной точки зрения. Наибольшее ускорение расчетов можно получить за счет параллелизации алгоритмов решения сигма-модели и использования супер-компьютеров. В параграфе 3.1 разработан метод и алгоритм распараллеливания программы решения уравнений сигма-модели ИВМ РАН с граничным условием “твердой крышки” для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью. Большинство современных программ моделирования динамики океана используют явные схемы для интегрирования уравнений по времени. В отличие от большинства моделей динамики океана способ решения уравнений модели циркуляции океана ИВМ РАН основан на использовании метода расщепления и неявных схемах. Проведен анализ наиболее трудоемких мест алгоритма решения уравнений модели. В параллельной программной реализации модели использован подход SPMD (одна программа – множество данных). Обмены между процессорами реализованы с помощью MPI. Основные трудности в распараллеливании программной реализации связаны с решением трехмерного уравнения переноса-диффузии с помощью неявных схем и расчетом функции тока. Дополнительные сложности связаны с использованием балансных конечно-разностных аппроксимаций на сдвинутых сетках и со сложностью расчетной области. Для блока переноса-диффузии предлагается использовать алгоритм с одномерным распределением данных по процессорам и транспонированием. На один шаг интегрирования по времени требуется две операции транспонирования.

В главе решена задача автоматического разбиения сложной расчетной области на одномерные подобласти, позволяющего сбалансировать нагрузку на процессоры. Если, например, для расчетной области Мирового океана применять равномерное распределение по широте и долготе, то нагрузка на один процессор больше, чем на другие в несколько раз. Для решения этой проблемы было применено равномерное распределение по числу расчетных точек. Разработан алгоритм автоматического разбиения, в котором учитывается сдвиг сеток для разных типов данных (температуры, компонентов вектора скоростей и функции тока).

Для параллельной версии модели получено ускорение в 12 раз для разрешения 2.5x2x33 (148х88х33) на 32 процессорах и в 68 раз на 180 процессорах для разрешения 0.5х0.4х33 (720х420х33) (см рис. 1).

В параграфе 3.2 описан разработанный алгоритм решения задачи модуля “функции уровня ” (2)-(4) дополненной соответствующими граничными условиями.

, (2)

, (3)

, (4)

где - широта, - долгота, - время , l – параметр Кориолиса, - средние по вертикали горизонтальные компоненты скорости , , - уровень океана, - коэффициент трения о дно - заданная положительная величина. К уравнениям (2)-(4) присоединяются граничные условия непротекания.



Уравнения (2)-(4) аппроксимируются неявно на интервале по времени и задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для , U, V. Так как матрица системы не меняется на каждом шаге по времени, а шагов по времени очень много, то временем необходимым для LU разложения матрицы или построения предобуславливателя можно пренебречь по сравнению со временем, требуемым для решения задачи с большим количеством правых частей. Соответственно, эффективный с точки зрения быстродействия, вычислительный алгоритм должен обеспечивать наиболее быстрое решение СЛАУ на каждом шаге по времени при ограничениях на использованную память. Для построения такого алгоритма используются современные методы решения разреженных СЛАУ, учитывающие свойства разреженности матрицы.

Таблица 1. Свойства и время решения СЛАУ в задаче о “функции уровня“ с помощью прямого метода

прямой метод решения (Super Lu)

Число неизвестных

16879

Число ненулевых элементов в матрице

106657

Число ненулевых элементов в L

1274839

Необходимая память

16M

Время на LU разложение (сек.)

0,85

Время на решения СЛАУ с одной правой частью (сек.)

0,03


Таблица 2. Время решения одной СЛАУ в секундах для задачи o “функции уровня“ без учета времени на построение предобуславливателя с помощью выбранных итерационных методов. (lfill – максимальное число внедиагональных элементов в неполном LU разложении (ILUT), droptol – порог отбрасывания внедиагональных элементов в предобуславливателе)

 

итерационные методы

параметры предобуславливания

GMRES

BCG

TFQMR

DQGMRES

без предобуславливания

33

Нет сходимости

Нет сходимости

33

ILU(0)

7

4,95

3,06

14

ILUT(lfill = 10, droptol = 0)

2,5

3,3

2,18

3,87

ILUT(lfill = 30, droptol = 0)

0,46

0,73

0,73

0,51

ILUT(lfill = 50, droptol = 0)

0,35

0,63

0,39

0,4

ILUT(lfill = 70, droptol = 0)

0,32

0,51

0,31

0,37

ILUT(lfill = 100, droptol = 0)

0,34

0,43

0,28

0,37

ILUT(lfill = 100, droptol = 1E-4)

0,34

0,42

0,33

0,37

ILUT(lfill = 100, droptol = 1E-6)

0,28

0,342

0,28

0,32

ILUT(lfill = 100, droptol = 1E-8)

0,32

0,37

0,26

0,34

Полученная в результате дискретизации СЛАУ, в зависимости от свойств вычислительной техники и размерности системы, решается либо разреженными прямыми методами (SuperLu), либо итерационными методами на основе Крыловских пространств с неполным LU разложением матрицы в качестве предобуславливателя. Проведено сравнение разных методов решения СЛАУ для задачи (2)-(4). В таблице 1 приведены параметры матрицы, полученной из задачи для “функции уровня”, для расчетной области Охотского моря с числом расчетных точек 173x88 и показано время необходимое для LU разложения матрицы и решения треугольной матрицы. В таблице 2 приведено время решения одной СЛАУ c помощью итерационных методов с предобуславливанием для задачи о “функции уровня”. Видно, что, если памяти для хранения разложения матрицы достаточно, то имеет смысл использовать прямые методы. Так же показано, что использование более “сильных” предобуславливателей может ускорить решение этой задачи в 100 раз. Еще один вывод, состоит в том, что при решении этой задачи, свойства сходимости метода QMR оказывается не хуже, чем метода GMRES. Метод QMR не требует хранить пространство Крылова, поэтому он оказывается эффективным с точки зрения использования памяти.

Разработана процедура автоматического выбора метода решения в зависимости от свойств СЛАУ и доступной оперативной памяти.

Аналогичные алгоритмы используются как для решения задачи (2)-(4), так и сопряженной к ней. Отметим, что безитерационный алгоритм решения задачи о “функции уровня” позволяет рассчитывать алгебраически точное значение градиента к дискретизованной прямой модели.



В четвертой главе описываются проведенные численные эксперименты по моделированию динамики океана с высоким пространственным разрешением 1/8° по долготе и 1/12° по широте. Численный эксперимент по моделированию Индийского океана является первым расчетом с высоким пространственным разрешением, проведенным с помощью сигма-моделью ИВМ РАН. Одной из основных целей эксперимента является оценка адекватности вихреразрешающей сигма-модели ИВМ РАН и оценка способности сигма-модели ИВМ РАН быть составной частью системы усвоения данных. Расчеты квазиравновесной циркуляции Индийского океана проведены на 15 лет с помощью параллельной программы сигма-модели океана. На рис. 2 приведены поля скорости, полученные по модели с высоким разрешением. Сравнение результатов численного эксперимента со схемами течений, построенными по данным наблюдений, показывает адекватность вихреразрешающей сигма-модели и разработанных алгоритмов.



Рисунок 2. Вычисленные среднемесячные скорости течений Индийского океана 15-го расчетного года (в ) для января (а) и июля (б) на глубине 30 м
В параграфе 4.2 проведены численные эксперименты по решению задачи по восстановлению начального условия в модели динамики океана. Численные эксперименты по идентификации начального условия температуры, солености, скорости в сигма-модели динамики океана проводились в расчетной области Индийского океана. Пространственное разрешение 1x0.5. Размер сеточной области 124x35x33. Период усвоения 1 сутки. Модельный шаг по времени 2 часа. В качестве данных наблюдений использованы реальные данные о поверхностной температуре и аномалии уровня. Управляя начальным условием, с помощью разработанных алгоритмов удается значительно уменьшить значения функционала отклонения. Результаты численных экспериментов показывают эффективность разработанных алгоритмов.

Проведены численные эксперименты типа “идентичных близнецов”, в которых в качестве данных наблюдений использовались заранее рассчитанные по прямой модели поля скорости, температуры, солености, уровня. Результаты расчетов показывают, что разработанный алгоритм с хорошей точностью восстанавливает начальные поля течений, температуры, солености и уровня океана по информации об их поведении на временном интервале порядка нескольких суток.



В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Главный результат диссертационной работы состоит в следующем: разработан алгоритм решения задачи инициализации океанологических полей, основанный на методах расщепления по физическим процессам и по пространственным координатам и сопряженных уравнений. Получены следующие результаты:



  1. Для решения задачи инициализации океана разработана сопряженная сигма-координатная модель общей циркуляции океана, основанная на методе расщепления с граничным условием свободной поверхности. Благодаря использованию специальных дискретизаций и неявных схем в прямой и сопряженной моделях, уменьшено число шагов по времени, что приводит к увеличению быстродействия. Уравнения расщепленной сопряженной модели и градиент функционала отклонения получены в явном виде.

  2. Предложен алгоритм распараллеливания прямой модели общей циркуляции океана ИВМ РАН, основанной на методе расщепления и неявных схемах. Разработанная параллельная программа моделирования обеспечивает ускорение расчетов до 70 раз.

  3. Предложен алгоритм решения задачи о “функции уровня” в прямой и сопряженной моделях общей циркуляции океана. Предложено явным образом формировать матрицу оператора задачи с применением современных методов решения СЛАУ. Использование таких методов позволяет ускорить время решения этой задачи в среднем в 100 раз. За счет применения этого алгоритма удалось повысить как быстродействие, так и точность расчетов динамики океана. Разработана адаптивная вычислительная процедура, обеспечивающая эффективное решение СЛАУ для задачи о “функции уровня”.

  4. Разработан комплекс программ для решения задачи усвоения данных наблюдений. Комплекс состоит из трех основных частей: решения прямой задачи; решения сопряженной задачи (в обратном времени); решения задачи оптимизации функционала. Разработанные программы успешно опробованы на решении задачи инициализации Индийского океана в рамках эксперимента “идентичных близнецов” и с использованием реальных данных наблюдений.

  5. Разработаны версии модели ИВМ РАН Индийского океана с высоким пространственным разрешением 1/8ox1/12ox21. Проведены расчеты муссонной циркуляции Индийского океана, демонстрирующие адекватность сигма-модели ИВМ РАН.



ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ


  1. Русаков А.С., Дианский Н.А. Параллельная модель общей циркуляции океана для многопроцессорных вычислительных систем //Информационные технологии. Издательство Машиностроение. 2003 №8. С. 20-26.

  2. Marchuk G.I., Rusakov A.S., Zalesny V.B. and Diansky N.A. Splitting Numerical Technique with Application to the High Resolution Simulation of the Indian Ocean Circulation. //Pure and Applied Geophysics. 2005. Vol. 12. Issue 8-9. P. 1407–1429.

  3. Marchuk G.I., Diansky N. A., Moshonkin S. N., Zalesny V.B., Rusakov A.S., High-resolution simulation of monsoon variability of the Indian Ocean Currents. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. Vol. 21, No. 2. P. 153-168.

  4. Zalesny V.B, Rusakov A.S, Numerical algorithm of data assimilation based on splitting and adjoint equation methods // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. Vol. 22, No. 2. P. 199-219.

  5. В.Б. Залесный, А.С. Русаков. Восстановление начального условия в задаче динамики океана. / Труды II международной конференции “Параллельные вычисления и задачи управления”. Москва. 2004. С. 15 .

  6. Agoshkov V.I, Zalesny V. B., Minuk F. P., Rusakov A. S. Study and Solution of Identification Problems for Nonstationary 2D- and 3D- Convection-diffusion equation. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2005. Vol. 20, No 1. P. 19-43.

  7. Агошков В. И., Залесный В.Б., Минюк Ф. П., Русаков А.С. Восстановление внешних источников в задачах теплообмена в океане.// Методы и технологии решения больших задач.  М.:ИВМ РАН. 2004 г. C. 6-60.

  8. Дианский Н.А., Залесный В.Б., Мошонкин С.Н., Русаков А.С. Моделирование муссонной циркуляции Индийского океана с высоким пространственным разрешением. // Океанология. 2006. Vol. 46, No. 5. P. 650–671.



Смотрите также:
Численный алгоритм вариационной инициализации океанологических полей 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
201.18kb.
1 стр.
Численное моделирование и разработка комплекса программ исследования теплообмена и ламинарного течения в регулярных продольнооребренных коридорных структурах
465.83kb.
2 стр.
Реферат по дисциплине «Основы информационных технологий»
692.14kb.
9 стр.
Разработка алгоритмов и программ решения уравнения переноса в ядерных реакторах методом поверхностных гармоник
650.79kb.
3 стр.
Разработка и исследование равновесных математических моделей рынка городских транспортных услуг 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
315.99kb.
2 стр.
Теоретико-графовые модели структуры фольклорных текстов, алгоритмы поиска закономерностей и их программная реализация
244.86kb.
1 стр.
Исследование и разработка метода моделирования посадки вертолета в сложных погодных условиях на палубу корабля
198.28kb.
1 стр.
Мохамед Математическое моделирование и алгоритмы оценки эффективности системы администрирования локальной компьютерной сети 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 05
335.44kb.
1 стр.
Методы анализа чувствительности для моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
266.16kb.
1 стр.
Вступительного испытания собеседования для магистерской программы «математическое моделирование» направление подготовки
66.83kb.
1 стр.
Шевцов Г. С., Крюкова О. Г., Мызникова Б. И. Численные методы линейной алгебры: Учеб пособие
74.55kb.
1 стр.
Учебно-методический комплекс по дисциплине численные методы специальность 230101. 65 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети
188.42kb.
1 стр.