Главная
страница 1
§5 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Определение 1: Уравнение вида
(1)
называется дифференциальным уравнением(ДУ) второгопорядка .Если ДУ разрешено относительно 2-ой производной, то оно имеет вид
(2)
Определение 2: Решением ДУ (1) называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (1)обращает его в тождество.
Определение 3: График решения ДУ называется интегральной кривой.

Определение 4. Отыскание решения ДУ (1) (или (2)), удовлетворяющего заданным начальным условиям называется решением задачи Коши.
5.1.Простейшие уравнения, допускающие понижения порядка.
Определение 5: Уравнение вида
(1)
Называется простейшим дифференциальным уравнением ДУ 2-порядка.Общий интеграл задается формулой
.

Пример1:

Найти общее решение дифференциального уравнения:







Ответ:3.


5.2.Дифференциальные уравнения второго порядка (n=2),не содержащие в явном виде искомой функции у
Для решения ДУ вида
. (2)
Выполняется следующая последовательность

действий:



  • Понижается порядок ДУ на единицу с помощью замены , которая проводит к ДУ первого порядка - Решается полученное ДУ первого порядка относительно z;

  • Обратная замена в найденное решение приводит к простейшему ДУ первого порядка.

  • Решается полученное ДУ первого порядка, находится решение


Пример 2. Найти общее решение ДУ


Решение:

  • Замена , приводит к ДУ первого порядка:

.

Это однородное ДУ.



  • Решим полученное ДУ, полагая



Подставим в уравнение, получим

Интегрируя почленно, находим

Обратная замена дает общее решение ДУ первого порядка относительно z:



  • Обратная замена в найденное решение z вновь приводит к простейшему ДУ первого порядка

  • Интегрируя по частям, найдем общее решение:


Ответ:




    1. 5.3. Дифференциальные уравнения 2- го порядка не содержащие в явном виде независимой переменной x.


Способ решения ДУ вида:
(3)

состоит в понижении порядка на единицу с помощью замены . В этом случае за независимую переменную примем y. Тогда y=y(x) - искомая функция. При этом находятся по формулам дифференцирования сложной функции и произведения функций:


Для решения ДУ такого вида рекомендуется следующий порядок действий.

  • Понижается порядок ДУ на единицу с помощью замены: которая приводит его к ДУ первого порядка .

  • Решается полученное ДУ первого порядка относительно p.

  • Обратная замена в найденное решение приводит вновь к ДУ первого порядка.

  • Решается полученное ДУ первого порядка, находится общее решение или общий интеграл.


Пример 3. Найти общее решение ДУ



Решение:

  • Замена приводит к ДУ первого порядка . Это ДУ относительно «p» с разделяющимися переменными.

  • Решим полученное ДУ путем разделения переменных и интегрирования. Получим:





  • Обратная замена в найденное решение приводит к ДУ первого порядка:


Это ДУ с разделяющимися переменными.

  • Решим полученное ДУ, вновь разделяя переменные и интегрируя. Получим:


Складывая (*) и (**) получим:

Обратим внимание, что в преобразовании найденного общего решения y использована формула


Ответ:
Пример 4. Найти частное решение ДУ

если

Решение:

  • Замена (т.е. y – независимая переменная) приводит к ДУ первого порядка: . Т.к. (в соответствии с начальным условием , то решим ДУ


(*)
Это ДУ относительно «p» с разделяющимися переменными.

  • Решим полученное ДУ путем разделения переменных и интегрирования. Получим:





;
общее решение. Найдем частное решение этого ДУ. Для этого найдем С1, используя начальное условие: при y=1, . Получим . Подставим С1 в общее решение, получим частное решение ДУ (*) p=y.

  • Обратная замена в найденное частное решение приводит к ДУ первого порядка .


(**)
ДУ с разделяющимися переменными.


  • Решим полученное ДУ вновь разделяя переменные и интегрируя



общее решение ДУ (**).

  • Найдем искомое частное решение исходного ДУ. Для этого найдем , используя начальное условие: при x=0, y=1. Получим: Подставим в общее решение, получим частное решение:

Ответ: .


Примеры для самостоятельной работы.

Найти общее или частное решение (если даны начальные условия) решение дифференциального уравнения:

5.1. .

5.2. .

5.3. .

5.4. .

5.5. .

5.6.

5.7. , .

5.8. , .

5.9. ; ,

5.10. .

5.11. .

5.12. .



5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

Ответы:


5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5. (или ).

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.



5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.
З а м е ч а н и е. Дифференциальные уравнения вида не содержащие в явном виде как независимой переменной x, так и искомой функции y, можно решать как ДУ вида (2), с его частными случаями, так и вида (3), но вид (3) проще.

Таблица 1.

Типология ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка

Характерные

признаки


ДУ второго порядка, способ его решения

1. В левой части ДУ содержится только производная, в правой части – функция f(x).




-простейшее

  • интегрировать обе части ДУ, в результате получится ДУ

;

  • решить полученное ДУ 1-го порядка путем интегрирования, найти общее решение

или общий интеграл.



2. ДУ не содержит в явном виде функцию y



  • замена приводит к ДУ 1-го порядка;

  • решить полученное ДУ 1-го порядка, найти ;

  • обратная замена в найденное решение приводит к простейшему ДУ 1-го порядка;

  • решить полученное ДУ 1-го порядка, найти .




3. ДУ не содержит в явном виде x

.

  • замена приводит к ДУ 1-го порядка относительно p;

  • решить полученное ДУ 1-го порядка, найти общее решение или общий интеграл;

  • обратная замена в найденное решение приводит к ДУ 1-го порядка;

  • решить полученное ДУ, найти общее решение или общий интеграл.




Смотрите также:
§5 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
74.4kb.
1 стр.
А. Н. Андреев Дифференциальные уравнения связанной задачи термоупругого деформирования слоистой композитной оболочки
54.2kb.
1 стр.
Лекции: Дифференциальные уравнения ежегодно 3-4 семестры
9.6kb.
1 стр.
Почетные звания: Соросовский профессор Основные направления нир
8.07kb.
1 стр.
Планы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальные уравнения + ряды) для экономических специальностей
32.16kb.
1 стр.
Доклад на международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", Новосибирск, 5-12 октября 2008г
31.79kb.
1 стр.
Дифференциальные уравнения
72.35kb.
1 стр.
Дифференциальные уравнения
32.4kb.
1 стр.
Семинары: Математический анализ 1-2 семестры, 1курс-2поток Обыкновенные дифференциальные уравнения
24.85kb.
1 стр.
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
152.9kb.
1 стр.
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения»
268.01kb.
1 стр.
Методика использования тестирования при преподавании раздела математического анализа «Дифференциальные уравнения» студентам экономического факультета ниу вшэ
30.04kb.
1 стр.