Главная
страница 1страница 2страница 3


МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


Любая С. И., Копылова О. С., Афанасьев М. А., Хайновский В. И.

ПРАКТИКУМ ПО МЕХАНИКЕ

И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ

учебное пособие для студентов обучающихся по специальностям: 1100201.65 – «Агрономия», 020800.62 – «Экология и природопользование», 250203.65 – «Садово-парковое и ландшафтное строительство».

Ставрополь

2010


УДК

Рецензенты:

доцент, кандидат физико-математических наук А. А. Хащенко

доцент, кандидат педагогических наук В. К. Крахоткина


Любая С. И., Копылова О. С., Афанасьев М. А., Хайновский В. И.

Лабораторный практикум по механике и молекулярной физике: учебное пособие. – Ставрополь: , 2010. –


В настоящем учебно-методическом пособии рассмотрены основные теоретические вопросы курсов механики и молекулярной физики, приведены методические указания к выполнению самостоятельной подготовки к лабораторным работам, приведены необходимые таблицы физических величин.

Предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальностям: 1100201.65 – «Агрономия», 020800.62 – «Экология и природопользование», 250203.65 – «Садово-парковое и ландшафтное строительство».



Предисловие
Предлагаемое руководство к лабораторным занятиям по физике содержит описание 10 лабораторных работ по механике и молекулярной физике. Оно предназначено для обучения студентов по программам бакалавриата специальностей: 1100201.65 – «Агрономия», 020800.62 – «Экология и природопользование», 250203.65 – «Садово-парковое и ландшафтное строительство».

В связи с тем, что изложение теоретического материала на лекциях отстает от регламентированного лабораторного практикума, возникает потребность совмещения в одном учебном пособии рассмотрения основных теоретических положений и методических указаний к каждой лабораторной работе. По замыслу авторов, это должно дать возможность студентам осмысленно выполнять лабораторные работы и свести к минимуму затраты времени на самостоятельную подготовку к занятиям по рекомендуемому списку учебной литературы.

Лабораторный практикум разработан в соответствии с учебной программой бакалавриата факультетов: «Агрономического» и «Защиты растений». Обращено внимание на аналитические и графические способы обработки результатов измерений, расчет погрешностей экспериментов. Изложение ведется с применением системы единиц СИ.

Цель данного лабораторного практикума состоит в том, чтобы на практике проверить теоретические знания студентов, выработать у них умение работать с приборами, развить навыки в проведении экспериментов, умение обрабатывать, анализировать, обобщать результаты, делать выводы.



ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Цель любого исследования – установление связей между различными явлениями и параметрами. Количественная зависимость между исследуемыми величинами получается в результате измерений.

Измерение – это нахождение значения физической величины опытным путем техническими средствами. Результат измерений следует выражать в системе единиц СИ.

Всякое значение, полученное в результате измерений, дает лишь приближенное значение измеряемой величины. Если систематические и грубые ошибки измерений могут быть учтены и устранены, то случайные погрешности неизбежны как в каждом измерении, так и в величине среднего значения, вычисленного по отдельным измерениям. Поэтому необходимо уметь рассчитывать возможные погрешности измерений и представлять достоверные результаты.

Измерения называются прямыми, если определяемая величина непосредственно сравнивается с эталоном меры (измерение длины, времени, массы и т. д.). Чаще производят не прямые измерения данной величины, а косвенные - через другие величины, связанные с измеряемой определенной математической зависимостью. Например, плотность тела определяется по измерениям массы и объема.

Погрешности, допускаемые во время измерений, делятся на две категории: систематические и случайные.



Систематические – погрешности, связанные с ограниченной точностью изготовления прибора (неравноплечность коромысла весов), неточностью самого метода измерения (пренебрежение силами сопротивления и трения), неправильной установкой прибора (например, сбит ноль шкалы прибора), но эти погрешности можно исключить, введя соответствующие поправки. Для этого приходится периодически проводить проверку приборов по эталонным.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин, действие которых на результат каждого измерения различно, и они не могут быть заранее учтены.

Случайные погрешности могут быть вызваны сотрясениями здания, влиянием незначительного движения воздуха, трением подвижных элементов приборов и переносятся в разной мере и с разным знаком из опыта в опыт. Математическая теория случайных величин (математическая статистика) позволяет уменьшить влияние этих погрешностей на конечный результат и установить величины погрешностей измерений. Для этого необходимо провести не одно измерение, а несколько. Теория ошибок дает возможность выбрать разумное число измерений для обеспечения заданной точности.


§1. Погрешности при прямых измерениях.

Пусть имеется некоторая случайная величина Х, которая может принимать ряд из п произвольных значений. Их можно наглядно представить, построив диаграмму, которая показывала бы, как часто использовались при измерениях те или иные значения. Для этого диапазон значений, отложенных по оси ОХ разбивают на равные интервалы шириной . Затем подсчитывают число m значений величины, попавших в каждый интервал и на каждом интервале строят прямоугольник с основанием, равным ширине интервала, и высотой, равной числу значений измеренной величины, попавшей в данный интервал. Полученный график называется гистограммой, а огибающая гистограмму кривая, проведенная через центры каждого интервала - кривой распределения случайной величины. Функция , описывающая эту кривую, называется плотностью вероятности данного распределения или функцией распределения вероятностей.

Существуют различные виды распределения случайных величин, однако особое значение имеет нормальный закон распределения случайной величины (закон Гаусса), для которого функция распределения вероятностей описывается формулой

, (1)

где - математическое ожидание случайной величины (сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности); - среднее квадратичное отклонение.

Зная закон распределения случайной величины, можно провести вероятностную оценку погрешности измерения.

Допустим, что при определении неизвестной величины А нами получен ряд из п отдельных измерений Х1, Х2,..., Хп, средняя арифметическая которых равна: , или





Каждое отдельное измерение и среднее из всех измерений имеют свои погрешности. Абсолютной ошибкой ε приближенного значения некоторой величины называют разность между точным и приближенным значениями этой величины.

(2)

Относительной ошибкой приближенного значения некоторой величины называют отношение его абсолютной ошибки ε к точному значению данной величины. Относительную ошибку принято выражать в процентах:



(3)

Вместо точного значения величины А, которое нам, как правило неизвестно, в формулы (2 - 3) подставляют средние значения экспериментальных данных, т.е. величину М. Тогда получим , .


СРЕДНЯЯ АБСОЛЮТНАЯ ОШИБКА

При достаточно большом количестве проведенных исследований случайной величины (по крайней мере больше десяти), достоверную величину погрешности измерений отражает средняя абсолютная ошибка . Она вычисляется как среднее из всех абсолютных значений ошибок отдельных измерений, взятых по модулю.



(4)
СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧНАЯ ОШИБКА

При малом числе проведенных измерений (3-5) для достоверной оценки погрешностей вычисляют средний квадрат абсолютных ошибок



(5)

Величина называется дисперсией и характеризует случайный разброс данных. Корень квадратный из величины дисперсии называется средней квадратичной ошибкой отдельного измерения - (средним квадратичным отклонением, стандартным отклонением). Величина вычисляется по формуле:



. (6)

Между величинами и существует следующая численная зависимость: ;


СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧнАЯ ОШИБКА СРЕДНЕГО

Средняя квадратичная ошибка и средняя абсолютная ошибка , являясь очень важными характеристиками точности экспериментов, сами не включаются в форму записи результатов. Результат измерений записывается через среднюю величину М и ее погрешность. Средняя квадратичная ошибка средней величины М вычисляется по формуле:



(7)

В итоге вычислений результат измерений записывается в виде



. (8)

Относительная ошибка измерений, выраженная в процентах, будет равна



Рассмотрим пример: Вычислить среднее и его ошибку для ряда чисел - 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

№п./п.Xεε211041621139312244131151400615-11716-24817-39918-416N=9; M=;



или


Далее



.

Следовательно, X=М±m= 14 ± 0,9.

Из примера видно, что величины средней квадратичной ошибки среднего, вычисленные по указанным формулам, через среднюю квадратичную ошибку – σ и через среднюю абсолютную ошибку – η, отличаются друг от друга. Следовательно, принимая второй путь расчета, как более простой, мы незначительно увеличиваем оцениваемые ошибки среднего значения.



Удобство оценки погрешности измерений с помощью средней квадратичной погрешности заключается в том, что является параметром в нормальном законе распределения. Значит, используя формулу (1), можно вычислить доверительную вероятность p, определяемую как вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения не более, чем на .

. (9)

Интервал значений измеряемой величины от до называется доверительным интервалом.

Доверительную вероятность погрешности среднего арифметического значения можно найти в Приложении 1.

Приведенные в Приложении 1 формулы справедливы только для большого числа измерений, что не всегда возможно.

В случае небольшого количества измерений (n<30) задают доверительную вероятность p по таблице приложения 2, затем находят соответствующее значение коэффициента Стьюдента t для данного числа измерений n. Определив t, находят случайную погрешность с заданной вероятностью p по формуле:

Рассмотрим пример: Пусть в результате четырех измерений x получены следующие значения: 2,80; 2,79; 2,84; 2,83. Найдем их среднее арифметическое значение: .

Средняя квадратичная погрешность отдельного измерения:



Средняя квадратичная погрешность среднего значения:



.

Зададим доверительную вероятность p=0,95. По таблице приложения 2 находим значения коэффициента Стьюдента при n=4 и p=0,95 – получим t=3,2. Величину случайной погрешности определим по формуле Окончательный результат запишем в виде: (p=0,95).


ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

Точностью измерительного прибора называется наименьшая величина, которую можно вполне надежно определять с помощью данного прибора.

Если точность прибора неизвестна, ее считают равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора. Если измерения проводятся прибором, снабженным нониусом (штангенциркуль), то точность прибора принимается равной разности между ценой одного деления прибора и одного деления нониуса. Для электроизмерительных приборов погрешность измерения характеризуется классом точности в пределах от 0,05 до 4. Значение класса точности указывается на лицевой стороне прибора.



Классом точности k прибора называется выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к наибольшему значению измеряемой величины xmax (предел измерения), которое можно определить данным прибором:

. (10)

Зная класс точности и предел измерения прибора, можно рассчитать его абсолютную погрешность:



. (11)

Погрешность одинакова для любого измерения, сделанного с помощью данного прибора.



Рассмотрим пример: Имеется амперметр с классом точности k=1,5 и пределом измерения 3А. Абсолютная погрешность прибора

.

Рассчитаем относительную погрешность для 3-х измерений тока: I1=0,5А, I2=1,5А, I3=2,5А.



;

;

.

Из примера видно, что лучше выбирать для измерения такие приборы, чтобы отсчет показаний производился как можно ближе к концу его шкалы.


§2. Погрешности при косвенных измерениях.

При косвенных измерениях точность выполнения серии опытов ограничивается погрешностями, допущенными при прямых измерениях величин, входящих в расчетную формулу.

Расчет погрешностей при косвенном измерении нельзя произвести так, как при прямом измерении. Из теории математической статистики следует, что если некоторая величина f является функцией других независимых величин x,y,z, которые могут быть определены прямыми измерениями, то ее абсолютная погрешность σf определяется абсолютными погрешностями σx, σy, σz (для величин x, y, z соответственно) согласно выражению:

(12)

Здесь f=f(x,y,z), а - частные производные функции f , вычисленные для средних значений ее переменных, т. е. , , .

При этом наиболее достоверное (т. е. среднее) значение величины f находится как:

. (13)

Используя соотношение (12,13), в качестве примеров, ниже приводятся выражения для вычисления относительных погрешностей некоторых часто встречающихся величин, выражаемых соотношениями (здесь σx и σy - абсолютные погрешности отдельных измеряемых величин, а , - средние значения величин).


№п/пФункциональная связьОтносительная погрешность1234567

Зная среднее значение величины - и относительную погрешность ее измерения ε можно найти ее абсолютную погрешность по формуле:



(14)

Пример 1: Пусть при определении объема V цилиндра в результате пяти измерений высоты h цилиндра и диаметра D его основания были получены следующие значения:

h, см12,212,812,712,212,6D, см2,04,75,24,94,8V, см3240222263230228

По формуле вычислим значения объема для каждого из пяти измерений. Найдем среднее арифметическое значение объема:



см3

Вычислим среднюю квадратичную погрешность объема:



см3.

Найдя из приложения 2 значение параметра t=2,8 определим доверительный интервал :==20,1 см3

Окончательный результат запишем в виде V =(23720) см3 (p = 0,95).

Пример 2: Определение коэффициента поверхностного натяжения (КПН) жидкости , по измерению абсолютного удлинения пружины динамометра l = (в – а), при предварительно измеренных и заданных коэффициенте жесткости пружины динамометра k и общем периметре используемого кольца - .

Основные соотношения: , тогда согласно (12) - (14), получаем:



где - соответствующие абсолютные значения погрешностей величин k, l, p; - относительная погрешность измерения КПН; - абсолютная погрешность измерения КПН.




следующая страница >>
Смотрите также:
Учебное пособие для студентов обучающихся по специальностям: 1100201. 65 «Агрономия», 020800. 62 «Экология и природопользование»
1198.04kb.
3 стр.
Учебное пособие по английскому языку краснодар 2012 Печатается по решению
1046.37kb.
9 стр.
Учебное пособие по английскому языку 3 семестр краснодар 2012 Печатается по решению
950.43kb.
8 стр.
Учебное пособие по английскому языку для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Государственное управление и право»
1572.27kb.
21 стр.
Учебное пособие для магистрантов и студентов гуманитарных специальностей Павлодар
2151.47kb.
9 стр.
Учебное пособие по физиологии. Тема: «Нейрон, его строение и функция»«Общие свойства сенсорных систем»
354.57kb.
3 стр.
Учебное пособие Санкт-Петербург 2012
3455.98kb.
18 стр.
Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности 1-08 01 01 «Профессиональное обучение»
590.08kb.
4 стр.
Учебное пособие для студентов высших учебных заведений обучающихся по экономическим специальностям. Кокшетау, 2011
3945.04kb.
18 стр.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Техносферная безопасность»
1490.26kb.
6 стр.
Г. И. Невельского Кафедра психофизиологии и психологии труда в особых условиях нейрофармакология: систематика психотропных средств, основные клинические и побочные эффекты учебное пособие
358.93kb.
1 стр.
Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности «Социально-культурный сервис и туризм»
1816.45kb.
18 стр.