Главная
страница 1
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


"УТВЕРЖДАЮ"

Проректор

__________ В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


Методы математической физики


Цикл ОПД. Ф

Специальность: 010900 – Астрономия

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации

(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.)
Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)


Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ.

(протокол №___ от "__"__________200__ г.)
Председатель комиссии
____________________ (Д.А. Таюрский)


Рабочая программа дисциплины "Методы математической физики" предназначена для студентов 3 курса

по специальности: 010900 - Астрономия
АВТОР: Даишев А.Ю.
КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: Данный курс лекций состоит из трех частей: В первой части излагаются элементы теории специальных функций; во второй – основные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям математической физики и методы решения этих уравнений; в третьей - некоторые элементы теории обобщенных функций.
1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Методы математической физики"

Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны: -

  • знать основные свойства и уметь работать с такими специальными функциями как функции Бесселя, полиномы Лежандра, присоединенные полиномы Лежандра, сферические функции;

  • знать основные типы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и уметь приводить эти уравнения к каноническому виду;

  • уметь ставить краевые задачи и владеть методами решения этих задач;


2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)

Форма обучения очная

Количество семестров 1

Форма контроля: 5 семестр экзамен


п/п

Виды учебных занятий

Количество часов

5 семестр

1.

Всего часов по дисциплине

202

2.

Самостоятельная работа

130

3.

Аудиторных занятий

72




в том числе: лекций

36




семинарских (или лабораторно-практических) занятий

36


3. Содержание дисциплины.

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ

Индекс

Наименование дисциплины и ее основные разделы

Всего часов

ОПД.Ф.5.

Методы математической физики.

Специальные функции математической физики. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Уравнения гиперболического типа. Уравне­ния параболического типа. Краевые задачи для уравнения колебаний и уравнения теплопроводности. Общая схема метода разделения переменных. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Элементы теории обобщенных функций.

202

Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится прочерк.

СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

п/п

Название темы и ее содержание

Количество часов






лекции

(лаб.-практ.) занятия

1

А. Специальные функции.

Основные уравнения для цилиндрических функций. Уравнение Бесселя. Решение его для нецелого индекса. Решение уравнения Бесселя для целого индекса. Рекуррентное соотношение для функции Бесселя. Функции Бесселя с полуцелым индексом. Функции Неймана и Ханкеля. Ортогональность функций Бесселя. Ряд Бесселя - Фурье. Уравнение Лежандра. Производящая функция и полиномы Лежандра. Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра. Полиномы Лежандра как решения уравнения Лежандра. Ортогональность полиномов Лежандра. Ряд Лежандра - Фурье. Присоединенные функции Лежандра и их выражение через производные от полиномов Лежандра. Решение 1-ой внутренней и внешней задач для шара в случае уравнения Лапласа. Сферические функции.

10

10

2

Б. Уравнения математической физики.

Вариационный принцип в физике. Вывод вариационным методом уравнений свободных и вынужденных малых поперечных колебаний струны и мембраны. Вывод уравнений свободных и вынужденных малых продольных колебаний тонкого стержня. Классификация уравнений 2-го порядка с частными производными и приведение их к каноническому виду. Формулировка краевых задач и задачи Коши. Существование и единственность решения 1-ой краевой задачи для уравнений гиперболического типа. Решение задачи Коши для бесконечной струны. Физическая интерпретация

решения. Решение задачи для свободных колебаний однородной струны с закрепленными концами. Стоячие волны. Решение задачи для вынужденных колебаний однородной струны. Решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве. Решение задачи о свободных колебаниях круглой мембраны с закрепленными границами.

10

12

3

Вывод уравнений теплопроводности для тела, стержня. Диффузия газа в трубе. Постановка краевых задач и задачи Коши для уравнений теплопроводности. Принцип максимума и минимума. Единственность решения 1-ой краевой задачи. Решение 1-ой краевой задачи для уравнения теплопроводности без источников и с источниками. Задача Коши для бесконечного стержня. Функция Грина и ее физическая интерпретация. Дельта-функция Дирака.


6

6

4

Уравнения эллиптического типа и краевые задачи для уравнений эллиптического типа. Теорема единственности решения для задач Дирихле и Неймана. Решение 1-ой внутренней краевой задачи для круга. Формула Пуассона. Объемный потенциал и его свойства. Потенциал простого слоя, двойного слоя. Метод потенциала решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.


6

8

5

С. Элементы теории обобщенных функций.

Векторное пространство и пространство распределений. Дельта-распределение Дирака. Дифференцирование распределений. Действия с распределениями.

4







Итого часов:

36

36



ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.М. М., Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1953.

3. Крикунов Ю.М. .Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань, Изд-во КГУ, 1970.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., Главная редакция физико-математической литературы, 1951.

5. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.-Л., ., Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1951.

6. Аминова А.В., Сочнева В.А. Методы математической физики. ЧастьII., Изд. КГУ 1978.


ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Очан Ю.С. Методы математической физики. М. «Высшая школа», 1965.

2. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М. «Наука », 1975.
Приложение к программе дисциплины

«Методы математической физики.
БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ
Билет 1.

1. Основные уравнения для цилиндрических функций. Уравнение Бесселя. Решение его для нецелого индекса.

2. Вариационный принцип в физике. Вывод уравнений свободных и вынужденных малых поперечных колебаний струны.
Билет 2.

1. Решение уравнения Бесселя с целым индексом.

2. Вывод уравнения колебаний мембраны.
Билет 3.

1. Рекуррентное соотношение для функций Бесселя.

2. Вывод уравнений свободных и вынужденных малых продольных колебаний тонкого стержня.
Билет 4.

1. Функции Бесселя с полуцелым индексом. Функции Неймана и Ханкеля.

2.. Формулировка краевых задач для уравнений гиперболического типа.
Билет 5.

1. Ортогональность функций Бесселя. Ряд Бесселя-Фурье.

2. Теорема о единственности решения для 1-ой краевой задачи в случае уравнения гиперболического типа.
Билет 6.

1. Уравнение Лежандра. Производящая функция и полиномы Лежандра.

2. Формулировка и решение задачи Коши для струны. Формула Даламбера. Физическая интерпретация решения.
Билет 7.

1. Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра. Доказательство того, что полиномы Лежандра являются решениями уравнения Лежандра.

2. Решение задачи о свободных колебаниях струны с закрепленными концами.
Билет 8.

1. Ортогональность полиномов Лежандра. Ряд Лежандра-Фурье.

2. Решение задачи о вынужденных колебаниях струны с закрепленными и незакрепленными концами.
Билет 9.

1. Присоединенные функции Лежандра. Дифференциальная и интегральная формы для полиномов Лежандра (без вывода формул).

2. Решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве.

Билет 10.

1. Сведения о сферических функциях.

2. Решение задачи о свободных колебаниях круглой мембраны с закрепленными границами.
Билет 11.

1. Уравнения Фредгольма и Вольтерра I и II рода. Собственные значения и собственные функции ядра интегрального однородного уравнения.

2. Вывод уравнения теплопроводности. Диффузия газа в трубе.

Постановка краевых задач для уравнений параболического типа.


Билет 12.

1. Решение уравнения Фредгольма II рода с вырожденным ядром. Альтернатива Фредгольма (доказательство этой теоремы для уравнения с вырожденным ядром).

2. Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности. Теорема о единственности решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Билет 13.

1. Вторая и третья теоремы Фредгольма и доказательство этих теорем для уравнений с вырожденным ядром.

2. Решение 1-ой краевой задачи для уравнения теплопроводности без источника и с источником.

Билет 14.

1. Теорема о существовании и единственности решения уравнения Фредгольма II рода с малым параметром.

2 Шаровые функции.
Билет 15.

1. Сведения о приближенных методах решения интегрального уравнения.

2. Формулировка и решение задачи Коши для стержня в случае уравнения теплопроводности.
Билет 16.

1. Функция Грина (источника) в задаче Коши для уравнения теплопроводности и ее физическая интерпретация. Дельта-функция Дирака.

2. Ортогональность полиномов Лежандра. Ряд Лежандра-Фурье.
Билет 17.

1. Уравнения эллиптического типа и краевые задачи. Теоремы единственности решения 1-ой внутренней краевой задачи (задачи Дирихле и Неймана).

2. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка (гиперболический тип уравнения).
Билет 18.

1. Решение 1-ой краевой задачи (внутренней) для круга. Формула Пуассона.

2. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка (параболический тип уравнения).
Билет 19.

1. Объемный потенциал и его свойства.

2. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка (эллиптический тип уравнения).
Билет 20.

1. Потенциал простого слоя, двойного слоя. Метод потенциала при решении краевых задач.

2. Решения внутренней и внешней задач для шара в случае уравнения Лапласа.


Смотрите также:
Программа дисциплины м етоды математической физики Цикл опд. Ф специальность: 010900 Астрономия
136.6kb.
1 стр.
Рабочая программа дисциплины дисциплина опд. Ф 5 Методы математической физики
243.43kb.
1 стр.
Программа дисциплины источниковедение цикл опд
146.02kb.
1 стр.
Программа дисциплины источниковедение цикл опд
306.87kb.
1 стр.
Программа дисциплины антропология. Цикл дс
120.21kb.
1 стр.
Программа дисциплины археология Цикл дс
234.55kb.
1 стр.
Программа дисциплины архивоведение Цикл
186.33kb.
1 стр.
Программа дисциплины химическая кинетика и катализ Цикл дс
78.22kb.
1 стр.
Программа дисциплины цифровые сигнальные процессоры Цикл опд. Специальность: 013800 Радиофизика и электроника
71.08kb.
1 стр.
Программа курса (Программное и аппаратное обеспечение пк)
41.53kb.
1 стр.
Программа дисциплины общая экология Цикл опд. Ф. Специальность: 013400 Природопользование; 013600 Геоэкология
146.74kb.
1 стр.
Специальность: 030301. 65 «Психология»
212.37kb.
1 стр.