Главная
страница 1
Задание №3
Движение планет. Законы Кеплера. Параллакс.
Цель: Освоить методику решения задач, используя законы движения планет.

Методические указания: к выполнению задания следует приступить после изучения гл.2, 3 §63-68, гл 10 [ 2] , гл 10 [ 1].

Исходные данные и справочная информация для выполнения задания №3 приведены в приложении №3.

Содержание:

1. Как часто повторяются противостояния планеты, сидерический период которой известен?

2. Вычислить массу планеты, зная сидерический период обращения ее спутника и расстояние спутника от планеты.

3. За какое время планета совершает полный оборот вокруг Солнца, если известно ее расстояние от него?

4. Определить расстояние до небесного тела, если известен его горизонтальный параллакс.

5. Вычислить параболическую скорость на поверхности спутника, зная его радиус и отношение массы планеты к массе спутника.


Общие сведения из теории
Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Вытянутость орбит мала, и при решении многих задач планетные орбиты можно считать круговыми и лежащими в плоскости эклиптики. Характерные взаимные расположения планет относительно Солнца и Земли называются конфигурациями планет. Планеты, орбиты которых расположены внутри земной орбиты называются нижними, а планеты, орбиты которых расположены вне земной орбиты – верхними. Конфигурации верхних и нижних планет различны и показаны на рис. (3.1), на котором положение Земли отмечено буквой Т, а названия конфигураций надписаны. Нижние планеты лучше всего наблюдать вблизи элонгаций - наибольшего видимого углового удаления планеты от Солнца. Верхние планеты лучше всего видны вблизи противостояний, когда к Земле обращено все освещенное Солнцем полушарие планеты.



Рис. 3.1. Планетные конфигурации

Промежуток времени, в течение которого планета совершает полный оборот вокруг Солнца по орбите относительно звезд, называется сидерическим (или звездным) периодом обращения (Т), а промежуток времени между двумя одинаковыми конфигурациями планеты – синодическим периодом (S). Планеты движутся вокруг Солнца в одном направлении, и каждая из них через промежуток времени, равный ее сидерическому периоду, совершает один полный оборот.

Через промежуток времени, равный, например, сидерическому периоду Земли (Т), нижняя планета обгонит Землю, а верхняя отстанет от нее, т.е. первоначальная конфигурация планет не восстановится. Следовательно, синодический период не равен сидерическому. Для нижней планеты, которая движется по орбите быстрее Земли, можно записать



, (3.1)

а для верхней, которая движется медленнее, чем Земля, -



, (3.2)

где Т=1 год (или 365.26 суток).

Формулы (3.1) и (3.2) называются уравнениями синодического движения.
Планеты вокруг Солнца движутся по законам Кеплера:


  1. Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

  2. Радиус – вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

  3. Квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит,


(3.4)

или


(3.5)

Эти законы справедливы и для движений спутников вокруг своих планет.

Законы движения небесных светил являются следствием их взаимодействия по закону всемирного тяготения - все тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Закон всемирного тяготения выражается формулой:



, (3.6)

где m1 и m2 – массы тел; r – расстояние между их центрами; f - постоянная всемирного тяготения (ее значение в системе СИ f=6,67*10-11 м/кг с2). Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения.

Под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к другому по кривой конического сечения - по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. В этом заключается первый обобщенный закон Кеплера. Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел.

Квадраты сидерических периодов планет (Т12 и Т22), умноженные на сумму масс Солнца и планеты (М+m1 и М+m2), относятся как кубы больших полуосей орбит планет (a13 и а23).



Т21+m1 ) / Т22+m2 )=a31/ a32 (3.7)

Обобщенный третий закон Кеплера применим и к другим системам, например к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты.

Для этого сравнивают движение Луны вокруг Земли с движением спутника вокруг планеты , массу которой определяют, и при этом массами спутников в сравнении с массой центрального тела пренебрегают. Тогда масса планеты Mn вычисляется по формуле:

, (3.8)

где Т1 и 1 – период обращения и большая полуось орбиты спутника планеты.

Скорость V при движении тела массы m под действием тяготения по орбите с большой полуосью на расстоянии r от центрального тела находится по формуле:

, (3.9)

где М – масса центрального тела.

Если m значительно меньше М, то его можно принять в формуле за ноль. Обозначим fM через ..

При движении тела по кругу (r=) из уравнения (3.9) следует



, (3.10)

где Vk – круговая скорость.

При движении тела по параболе (=) из уравнения (3.9) следует

, (3.11)

где VП – параболическая скорость.

Скорость эллиптического движения VЭ заключена в пределах

VКЭП (3.12)

Горизонтальный экваториальный параллакс.

Угол 0, под которым со светила, при наблюдении его на горизонте, виден экваториальный радиус Земли R, называется горизонтальным экваториальным параллаксом светила.

Расстояние до светила D вычисляют по формуле:

. (3.13)

Для Луны в среднем 0=57', для Солнца в среднем =8.78".

Поскольку углы 0 малы, то их синусы можно заменить самими углами

, (3.14)

здесь параллакс 0 выражн в секундах дуги.

Согласно формуле (3.14), параллакс обратно пропорционален расстоянию до светила.

При наблюдениях небесных тел Солнечной системы можно измерить угол, под которым они видны земному наблюдателю. Зная этот угловой радиус светила и расстояние до светила D, можно вычислить линейный радиус светила R:



(3.15)

Учитывая формулу (3.13), получим:



. (3.16)

Так как углы  и 0 малы, то



. (3.17)

Пример выполнения работы.

Задача 1. Как часто повторяются противостояния Марса, сидерический период которого 1.9 года?
Марс – верхняя планета. Используем формулу (3.2)

Дано: Решение:


Т=1 г.

Т=1.9 г.

Найти:

S - ?
Ответ: Противостояния Марса повторяются примерно через 2.1 года.


Задача 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты -422 тыс.км.

Для решения задачи используем формулу (3.8). Сравним обращение Ио вокруг Юпитера с обращением Луны вокруг Земли. Период обращения Луны Т=27,32 суток, а среднее расстояние Луны от центра Земли а=384 тыс. км. Определим массу Юпитера по отношению к массе Земли. Массу Земли примем за единицу. Используем уравнение (3.8).


Дано: Решение:

m=M=1

T=27,32 сут.

а=3,84 ∙105 км

Т1=1,77 сут.

а1=4,22∙105 км


Найти: МП - ?

Ответ: Масса Юпитера составляет примерно 317 масс Земли.
Задача 3. За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза дальше, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?
Для решения задачи используем третий закон Кеплера, уравнение (3.4).
Дано: Решение:

а1=1.5 а.е.

а=1 а.е. = Т=1 г.


Найти:


Т1 - ?
Ответ: Полный оборот вокруг Солнца Марс совершает примерно за 1,9 года.

Задача 4. Зная горизонтальный параллакс Луны и экваториальный радиус Земли, найти расстояние от Земли до Луны.
Для решения используем формулу (3.14).

Дано: Решение:

Л=57'02"

R=6378 км

Найти:

DЛ - ?

Ответ: Расстояние от Луны до Земли примерно 384400 км.

Задача 5. Вычислить параболическую скорость на поверхности Луны, RЛ=0.27 радиуса Земли, MЛ =1/81 массы Земли.

Используем формулу (3.11).

Дано: Решение:

RЛ=0.27 R



f=6,67*10-11 м/кг с2 RЛ=

MЛ=1/81 M

Найти:

VП - ?



Ответ: Параболическая скорость на поверхности Луны примерно 2,4 км/с.
Контрольные вопросы.

  1. Сформулируйте законы, лежащие в основе небесной механики.

  2. Конфигурации нижних и верхних планет.

  3. Планеты земной группы.

  4. Планеты- гиганты.

  5. Методы определения расстояний до тел Солнечной системы и размеров этих небесных тел

  6. Малые тела Солнечной системы.





Смотрите также:
Методические указания: к выполнению задания следует приступить после изучения гл. 2, 3 §63-68, гл 10 [ 2], гл 10 [ 1]
65.01kb.
1 стр.
Методические указания по выполнению домашнего задания содержат
777.13kb.
5 стр.
Методические указания по проведению практических занятий и выполнению семестрового задания
415.72kb.
1 стр.
Методические указания по выполнению контрольных работ, контрольные задания для студентов заочного отделения
2046.85kb.
13 стр.
Методические указания по изучению каждой темы и выполнению контрольной работы. Приведены вопросы для самоконтроля студентов, задания по выполнению домашней контрольной работы, перечень практических заданий
417.2kb.
1 стр.
Методические рекомендации по выполнению и оформлению семестрового задания и разъясняются предъявляемые к нему требования
71.76kb.
1 стр.
Министерство сельского хозяйства и продовольствия республики беларусь
788.46kb.
3 стр.
Методические указания к выполнению дипломного проекта Братск Издательство Братского государственного университета 2011
909.63kb.
6 стр.
Методические указания к выполнению практических заданий по курсу "Основы рекламы" Санкт-Петербург 2006
263.55kb.
1 стр.
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения и слушателей факультета обучения в сокращенные сроки по специальности 030501 «Юриспруденция»
482.83kb.
3 стр.
Методические указания по выполнению практических работ по курсу "Экология"
207.09kb.
1 стр.
Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов экономических специальностей Витебск 2011 (076. 5)
824.89kb.
3 стр.