Главная
страница 1страница 2страница 3
25 января 2013
Математические начала естествознания

Концерт для двух фортепиано

с оркестром
Ю.И.Кулаков

Новосибирский государственный университет



Ключевые слова
Теория физических структур, теория множеств, бурбакизация, монадология Лейбница, кризис математики, программа Гильберта, строгомания, аксиомофилы, левополушарные математики, мифологема, исчисление кортов, ядро и алфавит математики
Аннотация
В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими (см. В.И. Арнольд и С.П. Новиков). Математика и теоретическая физика находятся в состоянии глубокого кризиса. Математику нужно строить заново с другого конца, по образу и подобию физики, не с теории множеств и не с аксиом Пеано и аксиом ZFC (Цермело-Френкеля), а с минимального числа абстрактных символов — эйдосов. Языки математики и физики незначительно отличаются друг от друга. Можно найти общий для них алфавит и общую грамматику. Это позволяет описывать физическую реальность на языке абстрактных символов. К счастью алфавит такого универсального языка очень прост. Он состоит из двух пар постоянных символов и двух типов континуальных символов. Это позволяет рассматривать всю физику и математику как состоящие из конечного числа поколений, удивительным образом связанными между собой.

Виноградную косточку в тёплую землю зарою

И лозу поцелую и спелую гроздью сорву

И друзей созову, на любовь моё сердце настрою

А иначе зачем на земле этой вечной живу.

Булат Окуджава

Все математические тексты записываются либо в виде линейной (одномерной) последовательности нескольких абстрактных символов (букв), либо в виде двухмерной -матрицы, состоящей из строк и столбцов.

С самого начала мы будем различать символы постоянные и символы континуальные. Вначале мы ограничимся двумя постоянными символами: ``белым'' и ``чёрным'' .

Далее нам потребуются новые постоянные символы для обозначения постоянных строк — ``подчёркнутые'', ковариантные символы первого рода и для обозначения постоянных столбцов — ``надчёркнутые'', контравариантные .

Для обозначения континуальных символов первого рода мы будем использовать подчёркнутые буквы греческого алфавита, а для обозначения континуальных символов второго рода мы будем использовать надчёркнутые буквы латинского алфавита.

Итак, наша первая задача состояла в разработке наиболее адекватной действительности системы обозначений символов математического алфавита.

Вторая задача состояла в нахождении нескольких простейших операций, с помощью которых исходные абстрактные символы выстраиваются в новые последовательности, допускающие очевидную интерпретацию на привычном языке объективной реальности (геометрии, физики, химии, генетики, биологии, логики, информатики)

Другими словами, у каждой области знания имеется свой язык, состоящий из своего алфавита и согласованной с ним грамматикой (орфографией и синтаксисом). У русского языка свой алфавит и своя грамматика, у китайского языка — свои. Тем более свой алфавит и грамматика у математики. Так же, как нет разных русских языков, так нет разных языков математики. Есть язык адекватный действительности и есть язык неадекватный ей.

Математики до сих пор говорят на прокариотическом (доядерном), неадекватном действительности языке теории множеств.

Сейчас, после многочисленных дискуссий, я созрел до того, что готов перевести мою новую статью с моего эйдотического языка на традиционный язык, привычный для всех математиков.

В частности, я временно убрал термин эйдос, вместо постоянных эйдосов будем говорить о нечисловых постоянных, вместо континуальных эйдосов будем говорить о нечисловых переменных; заменим белый и чёрный эйдосы на две нечисловые мировые постоянные и , отличные от цифр 0 и 1, заменим мужские и женские эйдосы на нечисловые индексы столбцов и строк нечисловых матриц.

Таким образом, вместо того, чтобы описывать многочисленные понятия математики и физики на традиционном языке, я предлагаю ввести адекватный действительности универсальный алфавит естествознания и на нём описать несколько простейших универсальных операций, с помощью которых из букв найденного мной алфавита естествознания почти автоматически строятся слова, допускающие естественную интерпретацию на традиционном языке математики, логики, физики, генетики и так далее.

Другими словами, вместо того, чтобы сразу угадывать различные законы различных областей знания нужно было сначала угадать единый алфавит естествознания (линейные последовательности постоянных и переменных и ввести понятие двухмерной матрицы как табличного произведения конечных последователей — кортов) и после этого угадать несколько универсальных простых операций (тиражирование, табличное умножение, спаривание и сопряжение), а дальше ``немного воображения (фантазии) и чуть-чуть сообразительности''(Ричард Фейнман).

Демокрит расщепил вещество на атомы. Долгое время считалось, что атомы и есть последние кирпичики мироздания. Трудно переоценить это открытие. Вот что пишет по этому поводу Ричард Фейнман:
Ричард Фейнман, Фейнмановские лекции по физике, том 1, стр. 23.``Мир'', М. 1965.

Если бы в результате какой-то мировой катастрофы все накопленные научные знания оказались бы уничтоженными и к грядущим поколениям живых существ перешла бы только одна фраза, то какое утверждение, составленное из наименьшего количества слов, принесло бы наибольшую информацию? Я считаю, что это — атомная гипотеза (можете называть её не гипотезой, а фактом, но это ничего не меняет): все тела состоят из атомов — маленьких телец, которые находятся в непрерывном движении, притягиваются на небольшом расстоянии, но отталкиваются, если одно из них плотно прижать к другому. В одной этой фразе, как вы убедитесь, содержится невероятное количество информации о мире, стоит лишь приложить к ней немного воображения и чуть соображения.


Перефразируя высказывание Фейнмана, можно сказать:

Если бы в результате какой-то мировой катастрофы все накопленные научные знания оказались бы уничтоженными и к грядущим поколениям живых существ перешла бы только одна фраза, то какое утверждение, составленное из наименьшего количества слов, принесло бы наибольшую информацию? Я считаю, что это —гипотеза эйдоса: вся математика (теория множеств и математическая логика), вся химия, вся теория элементарных частиц сводятся к эйдосам — абстрактным символам трёх разновидностей: белых и чёрных, мужских и женских, постоянных и переменных, которые с помощью соответствующих операций соединяются в цепочки конечной длины (корты). В одной этой фразе, как вы убедитесь, содержится невероятное количество информации о мире, стоит лишь приложить к ней немного воображения и чуть соображения.


Математические начала естествознания строятся без теории множеств, без аксиом Пеано, без аксиоматического метода и без теоремы Гёделя о неполноте математики.
Что утверждает теорема Гёделя?

Если исходить из ПРИДУМАННЫХ аксиом теории множеств Цермело-Френкеля ZFC, то можно доказать, что можно ПРИДУМАТЬ такое утверждение, что его нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Любопытно. Но не более!
Первый звонок о единстве физики и математики
Ортодоксальная математика строится на очень общем основании — теории множеств. Чрезвычайно общее исходное понятие любой теории приводит к её очень низкой содержательности. Математика, построенная на слишком общем понятии множества, бессодержательна.

``Математика — это форма, в которой мы выражаем наше понимание природы, но не содержание'' (Вернер Гейзенберг)1. Или, другими словами, ортодоксальная математика, построенная на одном лишь понятии множества, напоминает гигантскую фабрику по производству упаковочного материала — картонной тары (множество, подмножества, отношение включения, соответствия, функции, отображения, преобразования, отношение эквивалентности, разбиения на классы, фактормножества).

Математика становится эффективной только тогда, когда есть узко специализированные аксиомы, вносимые извне в эту, уже готовую тару (аксиомы логики, аксиомы порядка, аксиомы топологии, аксиомы

линейных пространств, аксиомы евклидовой и неевклидовой геометрий, аксиомы алгебры Буля и тому подобные).

``Математика сама по себе никогда ничего не объясняет — это лишь средство, с помощью которого мы используем совокупность одних фактов для объяснения других фактов, и язык, на котором мы выражаем наши объяснения'' (Стивен Вайнберг)2
``Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный

ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный окончательный ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками'' (Герман Вейль)3.


Становится понятной тревога величайшего математика Анри Пуанкаре (1854–1912), интуитивно, ещё издалека предчувствовавшего наступление кризиса математики, и его негативная реакция на создание, как ему казалось, бессодержательной и формальной теории множеств Георгом Кантором (1845–1918), называя его идеи «тяжёлой болезнью», поражающей математическую науку.
С другой стороны, можно понять и другого величайшего математика Давида Гильберта (1862–1943), глубоко убеждённого в возможности полной формализации математики на основе аксиоматического подхода. В физике Гильберт считал, что после аксиоматизации математики необходимо будет проделать эту процедуру с физикой (См. Шестую проблему Гильберта). Однако, первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий, как показал Курт Гёдель (1931), оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал с самого начала.
Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере по-прежнему идёт по пути, намеченному Гильбертом, и по-видимому, поэтому, являясь тупиковой, явилась причиной кризиса, охватившего современную математику.
Физикам нужна иная, более содержательная математика — Математические начала естествознания.
Выход из создавшегося положения состоит на взгляд крупнейших современных математиков, академиков В.И. Арнольда (1937–2010) и С.П. Новикова (род. в 1938 году) в необходимости восстановления математики на содержательном уровне за счёт использования физических моделей.

Вопрос о том, является ли математика ``перечислением следствий из произвольных аксиом'' или же ветвью естествознания и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта, который вслед за Декартом и, предвосхищая Бурбаки, придерживался первого мнения и Пуанкаре, основателя современной математики, топологии и теории хаоса и динамических систем, который придерживался противоположного мнения.
Фотография В.И.Арнольда и С.П.Новикова
Академик В.И. Арнольд о кризисе современной математики
© В.И. Арнольд, Антинаучная революция и математика, Вестник

Российской Акадении Наук, том 69, № 6, с. 553–558, 1999 г.


Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010)  — академик, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН, президент Московского математического общества и вице-президент Международного математического союза.

В. И. Арнольд являлся известным критиком, существовавших в середине XX века попыток создать замкнутое изложение математики в строгой аксиоматической форме с высоким уровнем абстракции. Он был глубоко убеждён, что этот подход — известный в основном благодаря активности французской школы Николя Бурбаки — оказал негативное влияние на преподавание математики сначала во Франции, а затем и в других странах.
В середине XX столетия обладавшая большим влиянием мафия ``левополушарных математиков'' сумела исключить геометрию из математического образования (сперва во Франции, а потом и в других странах), заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями. Вся геометрия и, следовательно, вся связь математики с реальным миром и с другими науками была исключена из математического образования.

Все попытки избежать этого вмешательства реального мира в математику — сектантство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке. Подобное ``абстрактное'' описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений.

Несмотря на это, "левополушарные больные" \ сумели вырастить целые поколения математиков, которые не понимают никакого другого подхода к математике и способны учить лишь таким же образом следующие поколения.

Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической болтовни к изложению важной естественнонаучной области — особенно насущная задача.


Если математики не образумятся сами, то потребители, сохранившие как нужду в современной в лучшем смысле слова математической теории, так и свойственный каждому здравомыслящему человеку иммунитет к бесполезной аксиоматической болтовне, в конце концов откажутся от услуг схоластов-едоучек и в университетах, и в школах. Преподаватель математики, не одолевший хотя бы части томов курса Ландау и Лифшица, станет тогда таким же ископаемым, как сейчас — не знающий разницы между открытым и замкнутым множеством (Арнольд).
В.И.Арнольд, Математика для физика. О преподавании математики. Published in Uspehi Mat. Nauk, 1998
Расширенный текст выступления на дискуссии о преподавании

математики в Palais de De-couverte в Париже 7 марта 1997 г.
Математика — часть физики. Физика — экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика — это та часть физики, в которой эксперименты дёшевы.

Тождество Якоби (вынуждающее высоты треугольника пересекаться в одной точке)  — такой же экспериментальный факт, как то, что Земля кругла (т.е. гомеоморфна шару). Но обнаружить его можно с меньшими затратами.

В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под cолнцем).

Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам — и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых со временем стали министрами), и со стороны пользователей.

Уродливое здание, построенное замученными комплексом неполноценности математиками-недоучками, не сумевшими своевременно познакомиться с физикой, напоминает стройную аксиоматическую теорию нечетных чисел. Ясно, что такую теорию можно создать и заставить учеников восхищаться совершенством и внутренней непротиворечивостью возникающей структуры (в которой определена, например, сумма нечетного числа слагаемых и произведение любого числа сомножителей). Чётные же числа с этой сектантской точки зрения можно либо объявить ересью, либо со временем ввести в теорию, пополнив её (уступая потребностям физики и реального мира) некоторыми "идеальными" объектами.

К сожалению, именно подобное уродливое извращённое построение математики господствовало в преподавании математики в течение десятилетий. Возникнув первоначально во Франции, это извращение быстро распространилось на обучение основам математики сперва студентов, а потом и школьников всех специальностей (сперва во Франции, а потом и в других странах, включая Россию).

Уже Якоби заметил, как самое восхитительное свойство математики, что в ней одна и та же функция управляет и представлениями целого числа в виде суммы четырех квадратов, и истинным движением маятника.

Эти открытия связей между разнородными математическими объектами можно сравнить с открытием связи электричества и магнетизма в физике или сходства восточного берега Америки с западным берегом Африки в геологии. Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоценить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные явления единства всего сущего.


Академик С.П. Новиков о кризисе современной математики
Новиков С.П. - Математика на пороге XXI века (Историко-математические исследования). Российский государственный гуманитарный университет (РГГУ)
Вторая половина XX века и её итог: Кризис физико-математического сообщества в России и на Западе
Сергей Петрович Новиков — действительный член Российской Академии Наук, С 1971 г. заведует отделом математики в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР, в 1983 — кафедрой высшей геометрии и топологии МГУ. С 1984 г. заведует Отделом геометрии и топологии МИАН СССР.}
Это было очень модно, но мне теория множеств не нравилась. Я считал, что это - лишь наследие 30-х гг., и слишком многих подлинно новых идей здесь уже не будет.

Престижной считалась только строгая теорема, и чем сложней доказательство, тем лучше; разумный реализм постановки, как и сам результат, ценились гораздо меньше.


Французская школа после Пуанкаре, начиная с Лебега и Бореля, пошла по ультраабстрактному пути и создала в Париже (и затем в мире) глубокий ров между математикой и естественными науками.
Отдельные звёзды (вроде Э.Картана и Ж.Лере), которым этот ров не нравился, при всём своём личном авторитете оказались изолированы. Блестящие группы парижских математиков, возникшие в XX в., культивировали и углубляли этот разрыв, выступили идеологами полной и единой формализации математического образования, включая школьное.
Мы называем эту программу «бурбакизмом».
Усиление интереса к эйнштейновской гравитации и космологии в 60-х гг. возродило необходимость римановой геометрии; начали поговаривать о привлечении к делу топологии. Всё это отсрочило кризис во взгляде общества на математику на несколько десятилетий. Математики успокоились.
Для меня этот период был важным. Я воспринял его как указание на необходимость приложить усилия и изучить путь от математики к естественным наукам, стал изучать теоретическую физику . Бурбакистские тексты по математической физике - нелепость двойная, они затрудняют и проникновение физиков в эти методы, создавая у них иллюзию сверхсложности и недоступности этих разделов математики, которые они ранее никогда не изучали.
Казалось бы, наша область науки - современная математика - на первый взгляд, должна облегчить изучение, делая изложение как можно более прозрачным. Ведь формализация языка науки, осуществленная в бурбакистском стиле, - это не полезная формализация Гильберта, упрощающая понимание. Это - паразитная формализация, усложняющая понимание, мешающая единству математики и её единству с приложениями.
Я полагаю, что ультраформализованная литература возникла, в частности, потому, что можно было предвидеть её успех у широкого слоя алгебраически ориентированных чистых математиков.
Надо идти против течения, чтобы бороться за сохранение прозрачного общенаучного стиля, который может сохранять единство математики, объединить математику с физикой, с приложениями. Но это - лишь для очень немногих математиков сейчас.
Сегодняшнее сообщество не поймёт. Более того, оно не хочет слушать голосов, предупреждающих о необходимости преодолевать какие-то барьеры, если рядом появляются авторитетные люди, говорящие, что ничего этого им не надо. «Дайте им то, чего они хотят; ни к чему другому они не способны» - к такой оптимальной стратегии ведет демократическая эволюция абстрактной науки и образования, когда людям неизвестно, есть ли какая-нибудь цель их исследований, и они отказываются этот вопрос обсуждать.
Все критерии легко смещаются, если нет цели, которую нужно достигнуть. Общественный успех остается единственным критерием. Однако я замечу, что тем немногим, кто мог бы преодолеть барьер, бурбакистская литература сильно мешает найти правильный путь, дезинформирует их в сегодняшнем хаосе.
Бесполезная всёусложняющая алгебраическая формализация языка математики, экранирующая суть дела и связи между областями,  — это слишком широко распространившаяся болезнь.
Это — проявление кризиса, ведущего к определенной бессмысленности функционирования абстрактной математики, превращения её в организм, потерявший единый разум, где органы дёргаются без связи друг с другом. Как говорится, чтобы остановить построение вавилонской башни, Бог рассеял языки, и люди перестали понимать друг друга. Строительство остановилось.
Излишне усложнённый формальный абстрактный язык захватил не только алгебру, геометрию и топологию, но также и значительную часть теории вероятностей, и функциональный анализ. Анализ, дифференциальные уравнения, динамические системы оказались несколько менее ему подвержены. Здесь еще в 50-60-е гг. было сделано несколько хороших вещей, которые впоследствии широко распространились и стали общеполезны.
Но другие нелепости захватили всё это сообщество: математики – специалисты в этих областях – продолжают до сего дня программу, признающую лишь стопроцентно строгие теоремы, длина которых стала зачастую немыслимой. Очень малый процент их потратил труд на самообучение и научился вступать в контакт с миром естественных наук, где ведутся конкретные исследования, без заботы о математической строгости.
Строгомания постепенно превратилась в мифологию и веру, где много самообмана: спросите, кто читает эти доказательства, если они достаточно сложны? За последние годы выявилось много случаев, где решения ряда знаменитых математических проблем топологии, динамических систем, различных ветвей алгебры и анализа, как выяснилось, не проверялись никем очень много лет. Потом оказалось, что доказательство неполно. При этом отнюдь не во всех случаях пробелы могут сейчас быть устранены.
Если никто не читает «знаменитых» работ, то как же обстоит дело со сложными доказательствами в более заурядных работах? Ясно, что их в большинстве просто никто не читает. Я могу понять, что решённые в тот же период проблемы Ферма и четырёх красок стоят и длинного доказательства, и их проверят. Но постоянно жить в мире сверхдлинных доказательств, никем не читаемых, просто нелепо. Это —дорога в никуда, нелепый конец программы Гильберта.
Было бы важно сделать совокупность достижений математики XX в. Тоже максимально доступной, как можно более компьютеризованной — включая и классическую алгебраическую топологию: это помогло бы возродить нормальное изложение, прекратить представление этой замечательной области в виде абстрактной бессмыслицы, которую даже сами математики перестали понимать и не могут поэтому с ней работать.
Итак, мы встречаем XXI в. в состоянии очень глубокого кризиса. Нет полной ясности, как из него можно выйти: естественные меры, которые напрашиваются, практически очень трудно или почти невозможно реализовать в современном демократическом мире.
Конечно, мы вошли в век биологии, которая делает чудеса. Но биологи не заменят математиков и физиков-теоретиков, это совсем другая профессия. Пока чудеса биологии представляются мне скорее технологическими, инженерными. Хотелось бы, конечно, чтобы здесь возникло чудо и для математики где-нибудь через одно-два десятилетия, а не через три века, но предсказать это чудо невозможно.
Формальный язык непрозрачен, он всегда является узкопрофильным, он защищает Вашу область от понимания её соседями, от видимого всеми взаимного влияния идей. Если Вам удалось позаимствовать идеи из соседней области, Вы можете заформализовать их так, что первоисточник не будет виден.
Так или иначе, почему-то имеется много математиков, заинтересованных в развитии формального языка, разделяющего даже очень близкие разделы до непонятности.

следующая страница >>
Смотрите также:
Ключевые слова Теория физических структур, теория множеств, бурбакизация, монадология Лейбница, кризис математики, программа Гильберта, строгомания, аксиомофилы, левополушарные математики, мифологема, исчисление кортов
335.74kb.
3 стр.
Учебная программа для специальности: 1-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий 2010 г. Составитель
78.76kb.
1 стр.
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 05. 05. 06 «Горные машины»
92.6kb.
1 стр.
Программа «В мире занимательной математики»
478.4kb.
3 стр.
Семинар исследовательской группы по прикладной философии
508.19kb.
6 стр.
Рефератов по курсу «история и философия науки»
307.39kb.
1 стр.
Контрольная работа по теории множеств, отношениям, функциям и специальным бинарным отношениям При решении задач по теории множеств можно пользоваться основными тождествами алгебры множеств
1026.79kb.
4 стр.
Вопросы по истории математики
12.6kb.
1 стр.
Линдон Ларуш кто он такой
163.19kb.
1 стр.
Рабочая программа по геометрии в 11 классе учитель математики гбоу сош №1200 Ольховикова Е. Н. 2012/2013
89.37kb.
1 стр.
Конкурс для педагогических работников на соискание Гранта Москвы в сфере образования в номинации «Дидактика, теория и методика обучения»
421kb.
4 стр.
Программа курса программирование
137.1kb.
1 стр.